외접원과 원주각

$\displaystyle \overline{{\mathrm{CD}}} = a$라 하면 $\displaystyle \overline{{\mathrm{CE}}} = 5 \sqrt{3} - a$ $\angle {\mathrm{BAC}}$, $\angle {\mathrm{BEC}}$는 호 ${\mathrm{BC}}$에 대한 원주각이므로 $\angle {\mathrm{BAC}} \mathit{=} \angle {\mathrm{BEC}}$ $\displaystyle \cos \left( \angle \mathrm{BAC} \right) = \cos \left( \angle \mathrm{BEC} \right) = \frac{\sqrt{3}}{6}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 삼각형 ${\mathrm{ECD}}$에서 코사인법칙에 의해 $\displaystyle a ^{2} = 5 ^{2} + \left( 5 \sqrt{3} - a \right) ^{2} - 2 \times 5 \times \left( 5 \sqrt{3} - a \right) \times \frac{\sqrt{3}}{6}$ $\displaystyle \frac{25 \sqrt{3}}{3} a = 75$, $\displaystyle a = 3 \sqrt{3}$ $\displaystyle \overline{{\mathrm{CD}}} = 3 \sqrt{3}$, $\displaystyle \overline{{\mathrm{CE}}} = 2 \sqrt{3}$ $\angle {\mathrm{BAD}} \mathit{=} \angle {\mathrm{CED}}$, $\angle {\mathrm{BDA}} \mathit{=} \angle {\mathrm{CDE}}$이므로 두 삼각형 ${\mathrm{ABD}}$, ${\mathrm{ECD}}$는 서로 닮음이다. $\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} : \overline{{\mathrm{EC}}} = \overline{{\mathrm{BD}}} : \overline{{\mathrm{CD}}}$ $\displaystyle 2 : 2 \sqrt{3} = {\overline{\mathrm{BD}}} : 3 \sqrt{3}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} = 3$ ${\mathrm{BE}} \mathit{=} {\mathrm{BD}} \mathit{+} {\mathrm{DE}} \mathit{=} 8$ 삼각형 ${\mathrm{EBC}}$에서 코사인법칙에 의해 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} ^{2} = 8 ^{2} + \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2} - 2 \times 8 \times 2 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{6} = 60$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 2 \sqrt{15}$ ㉠에 의해 $\displaystyle \sin \left( \angle \mathrm{BAC} \right) = \sqrt{1 - \left( \frac{\sqrt{3}}{6} \right) ^{2}} = \frac{\sqrt{33}}{6}$ 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$라 하면 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$에서 사인법칙에 의해 $\displaystyle 2 R = \frac{{\overline{\mathrm{BC}}}}{\sin \left( \angle \mathrm{BAC} \right)} = 2 \sqrt{15} \times \frac{6}{\sqrt{33}}$ $\displaystyle R = \frac{6 \sqrt{55}}{11}$ 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 외접원의 넓이는 $\displaystyle \pi R ^{2} = \frac{180}{11} \pi$ 따라서 $p + q = 11 + 180 = 191$