외접원과 수선

삼각형 ${\mathrm{ABC}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} ^{2} = 4 ^{2} + 5 ^{2} - 2 \times 4 \times 5 \times \frac{1}{8} = 36$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 6$ 점 ${\mathrm{D}}$가 선분 ${\mathrm{BC}}$를 $1 : 2$로 내분하는 점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} = 2$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{DC}}} = 4$ $\angle {\mathrm{ABC}} = \mathit{\theta}$라 할 때, 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos \theta = \frac{6 ^{2} + 4 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \times 6 \times 4} = \frac{9}{16}$ 삼각형 ${\mathrm{ABD}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} ^{2} = 2 ^{2} + 4 ^{2} - 2 \times 2 \times 4 \times \cos \theta = 11$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = \sqrt{11}$이다. 삼각형 ${\mathrm{ABD}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos \left( \angle {\mathrm{BAD}} \right) = \frac{16 + 11 - 4}{2 \times 4 \times \sqrt{11}} = \frac{23}{8 \sqrt{11}}$ 호 ${\mathrm{BE}}$에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로 $\angle {\mathrm{BAD}} = \mathit{\angle} {\mathrm{BCF}}$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{FC}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{DC}}} \times \cos \left( \angle {\mathrm{BCF}} \right) = {\overline{\mathrm{DC}}} \times \cos \left( \angle {\mathrm{BAD}} \right)$ $\displaystyle = 4 \times \frac{23}{8 \sqrt{11}} = \frac{23}{22} \sqrt{11}$ 따라서 $p = 22$, $q = 23$이므로 $p + q = 45$이다.