외접원과 선분의 길이

[출제의도] 코사인법칙을 이용하여 변의 길이를 구할 수 있는가? $\angle \mathrm{BAC}$$= \theta$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}}$$= a$라 하면 삼각형 $\mathrm{\triangle} ABC$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} - 2 \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{AC}}} \times \cos \theta$ 즉, $\displaystyle 2 ^{2} = 3 ^{2} + a ^{2} - 2 \times 3 \times a \times \frac{7}{8}$ $\displaystyle a ^{2} - \frac{21}{4} a + 5$$= 0$ $4 a ^{2} - 21 a + 20$$= 0$ $\left( 4 a - 5 \right) \left( a - 4 \right)$$= 0$ 따라서 조건에서 $a > 3$이므로 $a$$= 4$ 같은 방법으로 삼각형 $\mathrm{ABM}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{MB}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AM}}} ^{2} - 2 \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{AM}}} \times \cos \theta$ $\displaystyle = 3 ^{2} + 2 ^{2} - 2 \times 3 \times 2 \times \frac{7}{8}$$\displaystyle = \frac{5}{2}$ 이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{MB}}}$$\displaystyle = \sqrt{\frac{5}{2}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{10}}{2}$ 이때 두 삼각형 $\mathrm{ABM}$, $\mathrm{DCM}$은 서로 닮은 도형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{MA}}} \times {\overline{\mathrm{MC}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{MB}}} \times {\overline{\mathrm{MD}}}$ 에서 $2 \times 2$$\displaystyle = \frac{\sqrt{10}}{2} \times {\overline{\mathrm{MD}}}$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{MD}}}$$\displaystyle = \frac{8}{\sqrt{10}}$$\displaystyle = \frac{4 \sqrt{10}}{5}$