외접원과 삼각형 넓이

점 ${\mathrm{B}}$를 포함하지 않는 호 ${\mathrm{AC}}$와 선분 ${\mathrm{AC}}$의 수직이등분선의 교점을 ${\mathrm{R}}$라 하자. $\mathrm{P} \mathit{=} \mathrm{R}$일 때, 삼각형 ${\mathrm{PAC}}$의 넓이가 최대가 되므로 ${\mathrm{Q}} \mathit{=} {\mathrm{R}}$이다.

$\displaystyle \cos \left( \angle \mathrm{ABC} \right) = - \frac{5}{8}$이므로 $\displaystyle \cos \left( \angle \mathrm{CQA} \right) = \cos \left( \pi - \angle \mathrm{ABC} \right) = - \cos \left( \angle \mathrm{ABC} \right) = \frac{5}{8}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{QA}}} = {\overline{\mathrm{QC}}} = 6 \sqrt{10}$이므로 삼각형 ${\mathrm{QAC}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{QA}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{QC}}} ^{2} - 2 \times {\overline{\mathrm{QA}}} \times {\overline{\mathrm{QC}}} \times \cos \left( \angle \mathrm{CQA} \right)$ $\displaystyle = \left( 6 \sqrt{10} \right) ^{2} + \left( 6 \sqrt{10} \right) ^{2} - 2 \times 6 \sqrt{10} \times 6 \sqrt{10} \times \frac{5}{8} = 270$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = a \left( a > 0 \right)$이라 하면 $\displaystyle 2 {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{BC}}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 2 a$이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{BC}}} ^{2} - 2 \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{BC}}} \times \cos \left( \angle \mathrm{ABC} \right)$ $\displaystyle = a ^{2} + \left( 2 a \right) ^{2} - 2 \times a \times 2 a \times \left( - \frac{5}{8} \right) = \frac{15}{2} a ^{2}$ $\displaystyle \frac{15}{2} a ^{2} = 270$에서 $a = 6$ 삼각형 ${\mathrm{CDB}}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$라 하면 삼각형 ${\mathrm{CDB}}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle 2 R = \frac{{\overline{\mathrm{BC}}}}{\sin \left( \angle \mathrm{CDB} \right)} = \frac{2 a}{\sin \frac{2}{3} \pi} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8 \sqrt{3}$ 따라서 $\displaystyle R = 4 \sqrt{3}$