외접원과 넓이

삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$라 하면 외접원의 넓이가 $7 \pi$이므로 $\displaystyle R = \sqrt{7}$이다. 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{AC}}}}{\sin \frac{\pi}{3}} = 2 R = 2 \sqrt{7}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 2 \sqrt{7} \times \sin \frac{\pi}{3} = \sqrt{21}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} : {\overline{\mathrm{BC}}} = 3 : 2$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 3 k \left( k > 0 \right)$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 2 k$이다. 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2}$$\displaystyle = \left( 3 k \right) ^{2} + \left( 2 k \right) ^{2} - 2 \times 3 k \times 2 k \times \cos \frac{\pi}{3}$ $= 7 k ^{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $k ^{2} = 3$, $\displaystyle k = \sqrt{3}$ 따라서 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{BC}}} \times \sin \frac{\pi}{3}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 3 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle = \frac{9}{2} \sqrt{3}$