외접원과 무게중심

[출제의도] 두 직선의 위치 관계를 이용하여 조건을 만족시키는 점을 구하는 문제를 해결한다. 두 식 ${2 x + y + 2 = 0}$, ${x - 2 y - 4 = 0}$을 연립하면 ${x = 0}$, ${y = \mathit{-} 2}$이므로 두 직선 ${l _{1}}$, ${l _{2}}$의 교점 ${\mathrm{A}}$는 ${\mathrm{A}}$${( 0 , - 2 )}$ 직선 ${l _{1}}$이 ${x}$축과 만나는 점 ${\mathrm{B}}$는 ${2 x + 0 + 2 = 0}$, ${x = \mathit{-} 1}$ 에서 ${\mathrm{B} ( - 1 , 0 )}$ 직선 ${l _{2}}$가 ${x}$축과 만나는 점 ${\mathrm{C}}$는 ${x - 0 - 4 = 0}$, ${x = 4}$ 에서 ${\mathrm{C} ( 4 , 0 )}$ ㄱ. 두 직선 ${l _{1}}$, ${l _{2}}$의 기울기는 각각 ${- 2}$, $\displaystyle {\frac{1}{2}}$이다. 두 직선의 기울기의 곱이 ${- 1}$이므로 두 직선 ${l _{1}}$, ${l _{2}}$는 서로 수직이다. (참) ㄴ. 점 ${\mathrm{Q}}$가 삼각형 ${\mathrm{PBC}}$의 무게중심이므로 삼각형 ${\mathrm{PBC}}$의 넓이는 삼각형 ${\mathrm{QBC}}$의 넓이의 ${3}$배이다. 조건 (나)에서 삼각형 ${\mathrm{PBC}}$의 넓이는 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 넓이의 ${3}$배이므로 두 삼각형 ${\mathrm{QBC}}$, ${\mathrm{ABC}}$의 넓이는 서로 같다. 두 삼각형 ${\mathrm{QBC}}$, ${\mathrm{ABC}}$에서 선분 ${\mathrm{BC}}$가 공통이므로 점 ${\mathrm{Q}}$와 직선 ${\mathrm{BC}}$ 사이의 거리는 점 ${\mathrm{A}}$와 직선 ${\mathrm{BC}}$ 사이의 거리인 ${2}$이다. 즉, 점 ${\mathrm{Q}}$의 ${y}$좌표는 ${2}$ 또는 ${- 2}$이다. 제${1}$사분면에 있는 점 ${\mathrm{P}}$에 대하여 세 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{C}}$의 ${x}$좌표의 합과 ${y}$좌표의 합은 모두 양수이므로 점 ${\mathrm{Q}}$도 제${1}$사분면에 있는 점이다. 따라서 점 ${\mathrm{Q}}$의 ${y}$좌표는 ${2}$이다. (참) ㄷ. ㄱ에서 두 직선 ${l _{1}}$, ${l _{2}}$가 서로 수직이므로 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 외접원의 지름은 선분 ${\mathrm{BC}}$이다. 원의 중심은 선분 ${\mathrm{BC}}$의 중점 ${\mathrm{M}}$이므로 그 좌표는 $\displaystyle {\left( \frac{- 1 + 4}{2} , \frac{0 + 0}{2} \right)}$, 즉 $\displaystyle {\left( \frac{3}{2} , 0 \right)}$

점 ${\mathrm{A}}$의 ${y}$좌표는 ${- 2}$, 점 ${\mathrm{Q}}$의 ${y}$좌표는 ${2}$이고, 점 ${\mathrm{Q}}$는 제${1}$사분면에 있으므로 두 점 ${\mathrm{Q}}$, ${\mathrm{A}}$는 점 ${\mathrm{M}}$에 대하여 서로 대칭이다. 따라서 세 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{M}}$, ${\mathrm{Q}}$는 한 직선 위에 있다. 점 ${\mathrm{Q}}$는 삼각형 ${\mathrm{PBC}}$의 무게중심이므로 세 점 ${\mathrm{M}}$, ${\mathrm{Q}}$, ${\mathrm{P}}$도 한 직선 위에 있다. 그러므로 네 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{M}}$, ${\mathrm{Q}}$, ${\mathrm{P}}$는 모두 한 직선 위에 있다. $\displaystyle {\mathrm{\overline{AM}} \mathit{=} \mathrm{\overline{MQ}}}$이고 $\displaystyle {\mathrm{\overline{MQ}} : {\overline{QP}} = 1 : 2}$이므로 $\displaystyle {{\overline{\mathrm{AP}}} : {\overline{\mathrm{MP}}}}$${= 4 : 3}$이다. 점 ${\mathrm{P}}$는 선분 ${\mathrm{AM}}$을 ${4 : 3}$으로 외분하는 점이므로 점 ${\mathrm{P}}$의 좌표는 $\displaystyle {\left( \frac{4 \times \frac{3}{2} - 3 \times 0}{4 - 3} , \frac{4 \times 0 - 3 \times \left( - 2 \right)}{4 - 3} \right)}$, 즉 ${\left( 6 , 6 \right. )}$ 따라서 점 ${\mathrm{P}}$의 ${x}$좌표와 ${y}$좌표의 합은 ${12}$이다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. [다른 풀이] ㄴ. 세 점 ${\mathrm{A} \left( 0 , - 2 \right)}$, ${\mathrm{B}}$${\left( - 1 , 0 \right)}$, ${\mathrm{C}}$${\left( 4 , 0 \right)}$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 넓이는 점 ${\mathrm{A}}$에서 직선 ${\mathrm{BC}}$에 내린 수선의 발이 원점 ${\mathrm{O}}$이므로 $\displaystyle {\frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BC}}} {\times} {\overline{\mathrm{OA}}}}$$\displaystyle {= \frac{1}{2} {\times} 5 {\times} 2}$${= 5}$ 이다. 그러므로 조건 (나)에서 삼각형 ${\mathrm{PBC}}$의 넓이는 ${15}$이다. 점 ${\mathrm{P}}$의 좌표를 ${\left( a , b \right)}$(${a > 0}$, ${b > 0}$)이라 하고 점 ${\mathrm{P}}$에서 직선 ${\mathrm{BC}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}}$라 하면 삼각형 ${\mathrm{PBC}}$의 넓이는 $\displaystyle {\frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BC}}} \times {\overline{\mathrm{PH}}}}$$\displaystyle {= \frac{1}{2} {\times} 5 {\times} b}$$\displaystyle {= \frac{5}{2} b}$ 이다. $\displaystyle {\frac{5}{2} b = 15}$에서 ${b = 6}$이고 점 ${\mathrm{P}}$의 좌표는 ${\left( a , 6 \right)}$이다. 이때 삼각형 ${\mathrm{PBC}}$의 무게중심 ${\mathrm{Q}}$의 좌표는 $\displaystyle {\left( \frac{a + \left( - 1 \right) + 4}{3} , \frac{6 + 0 + 0}{3} \right)}$, 즉 $\displaystyle {\left( \frac{a}{3} + 1 , 2 \right)}$이다. 따라서 점 ${\mathrm{Q}}$의 ${y}$좌표는 ${2}$이다. (참) ㄷ. ㄱ에서 두 직선 ${l _{1}}$, ${l _{2}}$가 서로 수직이므로 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 외접원의 지름은 선분 ${\mathrm{BC}}$이다. 원의 중심은 선분 ${\mathrm{BC}}$의 중점 ${\mathrm{M}}$이므로 그 좌표는 $\displaystyle {\left( \frac{- 1 + 4}{2} , \frac{0 + 0}{2} \right)}$, 즉 $\displaystyle {\left( \frac{3}{2} , 0 \right)}$ $\displaystyle {{\overline{\mathrm{BC}}}}$${= \left| 4 - \left( - 1 \right) \right| = 5}$이므로 원의 반지름의 길이는 $\displaystyle {\frac{5}{2}}$이다. 즉, 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 외접원의 방정식은 $\displaystyle {\left( x - \frac{3}{2} \right) ^{2} + y ^{2} = \frac{25}{4}}$ 점 ${\mathrm{Q}}$가 이 원 위의 점이므로 $\displaystyle {\left( \frac{a}{3} + 1 - \frac{3}{2} \right) ^{2} + 2 ^{2} = \frac{25}{4}}$ $\displaystyle {\left( \frac{a}{3} - \frac{1}{2} \right) ^{2} = \frac{9}{4}}$ $\displaystyle {\frac{a}{3} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}}$ 또는 $\displaystyle {\frac{a}{3} - \frac{1}{2} = \mathit{-} \frac{3}{2}}$ ${a = 6}$ 또는 ${a = \mathit{-} 3}$ ${a > 0}$이므로 ${a = 6}$이고 점 ${\mathrm{P}}$의 좌표는 ${\left( 6 , 6 \right)}$이다. 따라서 점 ${\mathrm{P}}$의 ${x}$좌표와 ${y}$좌표의 합은 ${6 + 6 = 12}$이다. (거짓)