외접원과 코사인법칙

[출제의도] 삼각함수의 성질을 이해하여 주어진 조건을 만족시키는 값을 구한다. 삼각형 $\mathrm{A} BC$의 외접원의 반지름의 길이가 $\displaystyle 3 \sqrt{5}$이므로 사인법칙에 의해 $\displaystyle \frac{10}{\sin C}$$\displaystyle = 2 \times 3 \sqrt{5}$, $\sin C$$\displaystyle = \frac{\sqrt{5}}{3}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 예각삼각형이므로 $\cos C$$\displaystyle = \sqrt{1 - \sin ^{2} C}$$\displaystyle = \frac{2}{3}$ $\displaystyle \frac{a ^{2} + b ^{2} - ab \cos C}{ab}$$\displaystyle = \frac{4}{3}$에서 $\displaystyle \frac{a ^{2} + b ^{2} - \frac{2}{3} ab}{ab}$$\displaystyle = \frac{4}{3}$ $3 a ^{2} + 3 b ^{2} - 2 ab = 4 ab$, $3 \left( a - b \right) ^{2} = 0$이므로 $a = b$ 코사인법칙에 의해 $10 ^{2}$$= a ^{2} + b ^{2} - 2 ab \cos C$$\displaystyle = a ^{2} + a ^{2} - 2 a ^{2} \times \frac{2}{3}$$\displaystyle = \frac{2}{3} a ^{2}$, $100$$\displaystyle = \frac{2}{3} a ^{2}$, $a ^{2}$$= 150$ 따라서 $ab$$= a ^{2}$$= 150$