공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

외접원 위 점의 역수 관계 증명

문제

다음은 정삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 변 BC\mathrm{BC} 위의 한 점 D\mathrm{D}를 잡아 직선 AD\mathrm{AD}가 △ABC\mathrm{\triangle} ABC의 외접원과 만나는 점을 E\mathrm{E}라 할 때, 1DE‾\displaystyle \frac{1}{\overline{\mathrm{DE}}} =1EB‾\displaystyle \frac{1}{\overline{\mathrm{EB}}}+ 1CE‾\displaystyle \frac{1}{\overline{\mathrm{CE}}}임을 보인 것이다.

[ 증 명 ]
선분 CE\mathrm{CE}의 연장선 위에 EB‾=EP‾\displaystyle \overline{\mathrm{EB}} = \overline{\mathrm{EP}}인 점 P\mathrm{P}를 잡는다. 네 점 A,B,E,C\mathrm{A} , B , E , C는 한 원 위에 있으므로 ∠AEC=∠ABC=60∘\mathrm{\angle} AEC = \angle ABC = 60 ^\circ이고 ∠AEB=∠ACB=60∘\mathrm{\angle} AEB = \angle ACB = 60 ^\circ이다. 따라서 □(가)=60∘\square {\text{(가)}} = 60 ^\circ〫이고 EB‾=EP‾\displaystyle \overline{\mathrm{EB}} = \overline{\mathrm{EP}}이므로 △EBP\mathrm{\triangle} EBP는 정삼각형이다. 그러므로 □(나)=60∘=∠DEC\square {\text{(나)}} = 60 ^\circ = \mathrm{\angle} DEC이고 선분 BP\mathrm{BP}와 DE\mathrm{DE}는 평행하다. △CBP\mathrm{\triangle} CBP와 △CDE\mathrm{\triangle} CDE는 닮음이므로 BP‾:DE‾=CP‾:□(다)\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} : \overline{DE} = \overline{CP} : \square {\text{(다)}}이고 BP‾∙□(다)=DE‾∙CP‾\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} \bullet \square {\text{(다)}} = \overline{DE} \bullet \overline{CP}이다. 또한 BP‾=EP‾=EB‾\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = \overline{EP} = \overline{EB}, CP‾=CE‾+EP‾\displaystyle \mathrm{\overline{CP}} = \overline{CE} + \overline{EP}이므로 EB‾∙□(다)=DE‾(CE‾+EP‾)=DE‾(CE‾+EB‾)\displaystyle \mathrm{\overline{EB}} \bullet \square {\text{(다)}} = \overline{DE} \left( \overline{CE} + \overline{EP} \right) = \overline{DE} \left( \overline{CE} + \overline{EB} \right) 가 된다. 양변을 EB‾∙CE‾∙DE‾\displaystyle \mathrm{\overline{EB}} \bullet \overline{CE} \bullet \overline{DE}로 나누면 1DE‾=1EB‾+1CE‾\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{\overline{DE}} = \frac{1}{\overline{EB}} + \frac{1}{\overline{CE}}이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①∠PEB\mathrm{\angle} PEB ∠BPE\mathrm{\angle} BPE CE‾\displaystyle \overline{\mathrm{CE}}②∠PEB\mathrm{\angle} PEB ∠BPE\mathrm{\angle} BPE CD‾\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}③∠EBP ∠CBE\mathrm{\angle} CBE CE‾\displaystyle \overline{\mathrm{CE}}④∠PEB\mathrm{\angle} PEB ∠DCE\mathrm{\angle} DCE CD‾\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}⑤∠PEB\mathrm{\angle} PEB ∠BED\mathrm{\angle} BED CD‾\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}

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①

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해설

한 원에서 현에 대한 원주각의 크기는 동일하므로 현 AB\mathrm{AB}에 대해 ∠ACB=∠AEB=60∘\mathrm{\angle} ACB = \angle AEB = 60 ^\circ 현 AC\mathrm{AC}에 대해 ∠ABC=∠AEC=60∘\mathrm{\angle} ABC = \angle AEC = 60 ^\circ 즉, ∠BEP=180∘−120∘=60∘⋯⋯(가)\mathrm{\angle} BEP = 180 ^\circ - 120 ^\circ = 60 ^\circ \cdots \cdots \text{(가)} 이 때 BE‾=PE‾\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = \overline{PE}이고 ∠BEP=60∘\mathrm{\angle} BEP = 60 ^\circ이므로 △BPE\mathrm{\triangle} BPE는 정삼각형 ∴∠BPE=60∘⋯⋯(나)\therefore \mathrm{\angle} BPE = 60 ^\circ \cdots \cdots \text{(나)} 즉, △CDE∽△CBP\mathrm{\triangle} CDE \backsim \triangle CBP 따라서, PE‾:BP‾=CE‾:CP‾⋯⋯(다)\displaystyle \mathrm{\overline{PE}} : \overline{BP} = \overline{CE} : \overline{CP} \cdots \cdots \text{(다)}이다.

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#원주각#닮음#증명 빈칸

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