외접원 넓이 증명

[출제의도] 다항식의 성질을 이용하여 도형의 증명을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

$\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \mathit{x}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{HD}} = \mathit{y}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{DG}} = \mathit{u}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{GC}} = \mathit{v}$라 하자. 그러면 $x + y = u + v$이고, 직사각형 $\mathrm{AEPH}$의 외접원의 반지름의 길이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{x ^{2} + u ^{2}}$이므로 직사각형 $\mathrm{AEPH}$의 외접원의 넓이 $S _{1}$은 $S _{1}$$\displaystyle = \frac{\pi}{4} \left( x ^{2} + u ^{2} \right)$이다. 또, 직사각형 $\mathrm{EBFP}$의 외접원의 반지름의 길이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{x ^{2} + v ^{2}}$이므로 직사각형 $\mathrm{EBFP}$의 외접원의 넓이 $S _{2}$는 $S _{2}$$\displaystyle = \frac{\pi}{4} \left( x ^{2} + v ^{2} \right)$이다. 마찬가지로 직사각형 $\mathrm{PFCG}$의 외접원의 넓이 $S _{3}$은 $S _{3}$$\displaystyle = \frac{\pi}{4} \left( y ^{2} + v ^{2} \right)$이고, 직사각형 $\mathrm{HPGD}$의 외접원의 넓이 $S _{4}$는 $S _{4}$$\displaystyle = \frac{\pi}{4} \left( y ^{2} + u ^{2} \right)$이다. 따라서 $S _{1} + S _{2} + S _{3} + S _{4}$ $\displaystyle = \frac{\pi}{4} \left( x ^{2} + u ^{2} \right)$$\displaystyle + \frac{\pi}{4} \left( x ^{2} + v ^{2} \right)$$\displaystyle + \frac{\pi}{4} \left( y ^{2} + v ^{2} \right)$$\displaystyle + \frac{\pi}{4} \left( y ^{2} + u ^{2} \right)$ $\displaystyle = \frac{\pi}{4} \left( x ^{2} + u ^{2} + x ^{2} + v ^{2} + y ^{2} + v ^{2} + y ^{2} + u ^{2} \right)$$\displaystyle = \frac{\pi}{4} \left( 2 x ^{2} + 2 y ^{2} + 2 u ^{2} + 2 v ^{2} \right)$ $\displaystyle = \frac{\pi}{2} \left( x ^{2} + y ^{2} + u ^{2} + v ^{2} \right)$ ∴ (가)에 들어갈 값은 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$이다. 한편 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 대각선이 원 $\mathrm{O}$의 지름이므로 원 $\mathrm{O}$의 반지름의 길이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} ( x + y )$이다. 따라서 원 $\mathrm{O}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{\pi}{2} \left( x + y \right) ^{2}$이다. ∴ (나)에 들어갈 값은 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$이다. 또, $S _{1} + S _{2} + S _{3} + S _{4}$$\displaystyle - \frac{\pi}{2} \left( x + y \right) ^{2}$ $\displaystyle = \frac{\pi}{2} ( x ^{2} + y ^{2} + u ^{2} + v ^{2} ) - \frac{\pi}{2} ( x + y ) ^{2}$ $\displaystyle = \frac{\pi}{4} \left\{ 2 ( x ^{2} + y ^{2} + u ^{2} + v ^{2} ) - 2 ( x + y ) ^{2} \right\}$ 한편 $2 ( x ^{2} + y ^{2} + u ^{2} + v ^{2} ) - 2 ( x + y ) ^{2}$$= 2 ( x ^{2} + y ^{2} + u ^{2} + v ^{2} ) - 2 ( x + y ) ( u + v )$ $= 2 ( x ^{2} + y ^{2} + u ^{2} + v ^{2} ) - 2 ( xu + xv + yu + yv )$$= ( x - u ) ^{2} + ( x - v ) ^{2} + ( y - u ) ^{2} + ( y - v ) ^{2}$$\geq 0$ ∴ (다)에 들어갈 값은 $2$이다. 따라서 $S _{1} + S _{2} + S _{3} + S _{4}$의 값은 $x = y = u = v$일 때 최소이고 원 $\mathrm{O}$의 넓이와 같다. 그러므로 $S _{1} + S _{2} + S _{3} + S _{4}$의 값은 원 $\mathrm{O}$의 넓이보다 크거나 같다. ∴ (가), (나), (다)에 들어갈 값을 모두 더하면 $\pi + 2$이다.