외접원 중심 벡터 과정

다음은 좌표공간에 있는 세 점 $\mathrm{A} ( 3 , 0 , 2 )$, $\mathrm{B} ( 0 , 2 , 1 )$, $\mathrm{C} ( 1 , 1 , 1 )$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 중심 $\mathrm{P}$의 좌표를 벡터를 이용하여 구하는 과정이다.

$\mathrm{\vec{CA}} = \vec{\mathit{a}}$, $\mathrm{\vec{CB}} = \vec{\mathit{b}}$라 하면 적당한 실수 $p , q$에 대하여 $\mathrm{\vec{CP}} = {\mathit{p} \vec{a} + q \vec{b}}$ 로 나타낼 수 있다. $| \mathrm{\vec{CP}} | = | \mathrm{\vec{AP}} |$에서 $| \mathrm{\vec{CP}} | ^{2} = | \mathrm{\vec{CP}} - \vec{\mathit{a}} | ^{2}$ $\therefore | \vec{a} | ^{2}$ $=$(가) $\times \left( p | \vec{a} | ^{2} + q \vec{a} \cdot \vec{b} \right)$…… ㉠ 마찬가지로 $| \mathrm{\vec{CP}} | = | \mathrm{\vec{BP}} |$에서 $| \vec{b} | ^{2} =$ (나) $\times \left( q | \vec{b} | ^{2} + p \vec{a} \cdot \vec{b} \right)$…… ㉡ $\vec{a} = ( 2 , - 1 , 1 )$, $\vec{b} = ( - 1 , 1 , 0 )$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3$이므로 ㉠, ㉡으로부터 $\therefore$ $p =$(다) , $q =$(라)

따라서 $\mathrm{\vec{CP}} = ( 1 , 2 , 3 )$이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 중심은 $\mathrm{P} ( 2 , 3 , 4 )$이다.

위 과정에서 (가), (나), (다), (라)에 해당하는 수를 모두 더하면? [4점] ①$11$②$12$③$13$④$14$⑤$15$

주관식 문항 (25~30)