미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

외접원 접점 거리 극한

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 각각 11인 두 원 OO, O′O'이 외접하고 있다. 원 OO위의 점 AA에서 원 O′O'에 그은 두 접선의 접점을 각각 PP, QQ라 하자. ∠AOO′=θ\angle AOO' = \theta라 할 때, lim⁡θ→+0PQ‾θ\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow +0} \frac{\overline{PQ}}{\theta}의 값은? (단, 0<θ<π2\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}) [4점]

①22②6\displaystyle \sqrt{6}③22\displaystyle 2 \sqrt{2}④10\displaystyle \sqrt{10}⑤23\displaystyle 2 \sqrt{3}

정답 보기
③

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

AM=sin⁡θ,OM=cos⁡θ,O′M=2−cos⁡θAM = \sin \theta , OM = \cos \theta , O' M = 2 - \cos \theta AO′=sin⁡2θ+(2−cos⁡θ)2=5−4cos⁡θ\displaystyle AO' = \sqrt{\sin ^{2} \theta + \left( 2 - \cos \theta \right) ^{2}} = \sqrt{5 - 4 \cos \theta} AP=(5−4cos⁡θ)−1=4−4cos⁡θ=22sin⁡θ2\displaystyle AP = \sqrt{\left( 5 - 4 \cos \theta \right) - 1} = \sqrt{4 - 4 \cos \theta} = 2 \sqrt{2} \sin \frac{\theta}{2} PK×AO′=AP×PO′PK \times AO' = AP \times PO'이므로 PK=22sin⁡θ25−4cos⁡θ\displaystyle PK = \frac{2 \sqrt{2} \sin \frac{\theta}{2}}{\sqrt{5 - 4 \cos \theta}} ∴PQ=2PK=42sin⁡θ25−4cos⁡θ\displaystyle \therefore PQ = 2 PK = \frac{4 \sqrt{2} \sin \frac{\theta}{2}}{\sqrt{5 - 4 \cos \theta}} lim⁡θ→0+PQ‾θ\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{{\overline{PQ}}}{\theta} =lim⁡θ→0+42×sin⁡θ2θ×15−4cos⁡θ\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} 4 \sqrt{2} \times \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\theta} \times \frac{1}{\sqrt{5 - 4 \cos \theta}} =22\displaystyle = 2 \sqrt{2}

태그

#삼각함수 극한#원

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 여러 가지 미분법 문제 모음수능 문제 모음고난도 킬러 문제 모음
← 전체 문제 목록으로