외접원 반지름 비

삼각형 ${\mathrm{ABC}}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{BC}}}}{\sin A} = 2 R _{1}$, $\displaystyle R _{1} = \frac{{\overline{\mathrm{BC}}}}{2 \sin A}$ 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{BD}}}}{\sin A} = 2 R _{2}$, $\displaystyle R _{2} = \frac{{\overline{\mathrm{BD}}}}{2 \sin A}$ $R _{1} : R _{2} = 4 : 3$이므로 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{BC}}}}{2 \sin A} : \frac{{\overline{\mathrm{BD}}}}{2 \sin A} = 4 : 3$, 즉 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} : {\overline{\mathrm{BD}}} = 4 : 3$ $\displaystyle \overline{{\mathrm{BC}}} = 4 k$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} = 3 k \left( k > 0 \right)$이라 하면 삼각형 ${\mathrm{BCD}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos \left( \angle \mathrm{CDB} \right) = \frac{\left( 2 \sqrt{7} \right) ^{2} + \left( 3 k \right) ^{2} - \left( 4 k \right) ^{2}}{2 \times 2 \sqrt{7} \times 3 k} = \frac{- 7 k ^{2} + 28}{12 \sqrt{7} k}$ 이${\mathrm{col}}$고 $\cos ( \angle {\mathrm{CDB}} \mathit{)}$$= \cos \left( \pi - \angle \mathrm{BDA} \right)$ $\displaystyle = - \cos \left( \angle \mathrm{BDA} \right) = - \frac{\sqrt{7}}{4}$ 이므로 $\displaystyle \frac{- 7 k ^{2} + 28}{12 \sqrt{7} k} = - \frac{\sqrt{7}}{4}$, $7 k ^{2} - 21 k - 28 = 7 \left( k + 1 \right) \left( k - 4 \right) = 0$ $k > 0$이므로 $k = 4$ 따라서 $\displaystyle \overline{{\mathrm{BC}}} + \overline{{\mathrm{BD}}} = 4 k + 3 k = 28$