외분점과 정수 집합

[출제의도] 로그함수가 포함된 방정식과 부등식 문제 해결하기 선분 $\mathrm{AB}$를 $2 : 1$로 외분하는 점의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{2 - a}{2 - 1} , \frac{2 \log _{8} \sqrt[4]{27} - \log _{4} b}{2 - 1} \right)$이고 $\displaystyle 2 \log _{8} \sqrt[4]{27} - \log _{4} b$$\displaystyle = \log _{8} \sqrt{27} - \log _{4} b$$= \log _{4} 3 - \log _{4} b$$\displaystyle = \log _{4} \frac{3}{b}$ 이므로 $\displaystyle \left( \frac{2 - a}{2 - 1} , \frac{2 \log _{8} \sqrt[4]{27} - \log _{4} b}{2 - 1} \right) = \left( 2 - a , \log _{4} \frac{3}{b} \right)$이다. 이 점이 곡선 $y = - \log _{4} \left( 3 - x \right)$ 위에 있으므로 $\displaystyle \log _{4} \frac{3}{b} = - \log _{4} \left( a + 1 \right) = \log _{4} \frac{1}{a + 1}$이므로 $b = 3 \left( a + 1 \right)$이다. 집합 $\left\{ n | b < 2 ^{n} {\times} a {\leq} 32 b , n \right.$은 정수$\}$의 원소의 개수는 $5$이다. $\left\{ n | b < 2 ^{n} {\times} a {\leq} 32 b , n \right.$은 정수$\}$ $= \left\{ m , m + 1 , m + 2 , m + 3 , m + 4 \right\}$ $( m$은 정수$)$ 라 하면 $m + \left( m + 1 \right) + \left( m + 2 \right) + \left( m + 3 \right) + \left( m + 4 \right) = 25$이므로 $m = 3$이다. 그러므로 $\displaystyle 2 {\leq} \log _{2} \frac{b}{a} < 3$이다. $\displaystyle 4 \leq \frac{b}{a} < 8$이고 $b = 3 \left( a + 1 \right)$이므로 $\displaystyle \frac{3}{5} < a {\leq} 3$이다. 그러므로 $a = 1$, $b = 6$ 또는 $a = 2$, $b = 9$ 또는 $a = 3$, $b = 12$이다. 따라서 $a + b$의 최댓값은 $15$