미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

놀이기구 이동거리

문제

어떤 놀이 기구는 길이가 $10 m$ 인 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$ 를 지름으로 하는 반원 모양의 호를 따라 다음 <규칙>에 의해 움직이도록 만들어졌다.

		< 규 칙 >

	먼저, [그림 $1$ ]에서와 같이 반원에서 중심 $\mathrm{O}$ 로부터 지면과 수직인 방향에 위치한 $\mathrm{C}$ 지점에서 $\mathrm{B}$ 방향으로 $10 ^\circ$ 만큼 움직여 $\mathrm{P} _{1}$ 지점에 도달한 후, 방향을 바꾸어 $\mathrm{A}$ 방향으로 $20 ^\circ$ 만큼 움직여 $\mathrm{P} _{2}$ 지점에 도달한다. 다음으로, [그림 $2$ ]에서와 같이 동작 규칙이 바뀌어 $\mathrm{B}$ 지점으로부터 $\mathrm{A}$ 방향으로 호 $\frown {\mathrm{AB}}$ 길이의 $\displaystyle \frac{9}{10}$ 만큼 움직여 $\mathrm{Q} _{1}$ 에 도달한 후, 방향을 바꾸어 호 $\frown {\mathrm{Q} _{1} B}$ 길이의 $\displaystyle \frac{9}{10}$ 만큼 움직여 $\mathrm{Q} _{2}$ 에 도달한다. 이와 같이 방향을 바꾸면서 직전 운동거리의 $\displaystyle \frac{9}{10}$ 만큼 움직임을 계속하여 반복한다.

이와 같이 $\mathrm{C}$ 지점을 출발한 놀이 기구가 호를 따라 한없이 계속하여 움직일 때, 움직인 거리의 총합은? [4점]

① $87.5 \pi ( m )$ ② $90 \pi ( m )$ ③ $92.5 \pi ( m )$ ④ $95 \pi ( m )$ ⑤ $97.5 \pi ( m )$

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①

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해설

[출제의도] 둥차수열의 합과 무한등비급수를 실생활에 적용시킬 수 있는가를 묻는 문제이다. i) 올라가면서 움직인 거리의 합은 공차가 $\displaystyle \frac{5 \pi}{18}$ 이고 항의 개수가 $17$ 인 등차수열의 합이다. $\displaystyle 5 \frac{\pi}{18} + 5 \frac{2 \pi}{18} + 5 \frac{3 \pi}{18} + \cdots + 5 \frac{17 \pi}{18} = \frac{85 \pi}{2}$ ii) 내려오면서 움직인 거리의 합은 첫째항이 $\displaystyle \frac{9}{2} \pi$ 이고 공비가 $\displaystyle \frac{9}{10}$ 인 무한등비급수이다. $\displaystyle \frac{5 \pi \times \frac{9}{10}}{1 - \frac{9}{10}} = 45 \pi$ $\displaystyle \therefore \frac{85 \pi}{2} + 45 \pi = 87.5 \pi$

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