미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

넓이의 극한

문제

그림과 같이 좌표평면에서 양의 실수 tt에 대하여 함수 f(x)=x\displaystyle f \left( x \right) = \sqrt{x}의 그래프가 두 직선 x=tx = t, x=t+4x = t + 4와 만나는 점을 각각 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}라 하고, 점 A\mathrm{A}에서 직선 x=t+4x = t + 4에 내린 수선의 발을 C\mathrm{C}라 하자. 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 넓이를 S(t)S \left( t \right)라 할 때, lim⁡t→∞t×S(t)2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{\sqrt{t} \times S \left( t \right)}{2}}의 값은? [4점]

x=t+4x = t + 4 y=f(x)y = f \left( x \right)

①22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}②11③2\displaystyle \sqrt{2}④22⑤22\displaystyle 2 \sqrt{2}

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④

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해설

[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 A(t,t)\displaystyle \mathrm{A} \mathit{\left( t , \sqrt{t} \right)}, B(t+4,t+4)\displaystyle \mathrm{B} \mathit{\left( t + 4 , \sqrt{t + 4} \right)}, C(t+4,t)\displaystyle \mathrm{C} \mathit{\left( t + 4 , \sqrt{t} \right)}이므로 AC‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 4, BC‾=t+4−t\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = \sqrt{t + 4} - \sqrt{t} 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 넓이는 S(t)=12×4×(t+4−t)\displaystyle S \left( t \right) = \frac{1}{2} \times 4 \times \left( \sqrt{t + 4} - \sqrt{t} \right)=2(t+4−t)\displaystyle = 2 \left( \sqrt{t + 4} - \sqrt{t} \right) lim⁡t→∞t×S(t)2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{\sqrt{t} \times S \left( t \right)}{2}} =lim⁡t→∞t×(t+4−t)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\sqrt{t} \times \left( \sqrt{t + 4} - \sqrt{t} \right)} =lim⁡t→∞t×(t+4−t)(t+4+t)t+4+t\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{\sqrt{t} \times \left( \sqrt{t + 4} - \sqrt{t} \right) \left( \sqrt{t + 4} + \sqrt{t} \right)}{\sqrt{t + 4} + \sqrt{t}}} =lim⁡t→∞4tt+4+t\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{4 \sqrt{t}}{\sqrt{t + 4} + \sqrt{t}}} =lim⁡t→∞41+4t+1\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{t}} + 1}} =41+1\displaystyle = \frac{4}{1 + 1}=2= 2

태그

#극한#무리식#넓이

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