넓이의 극한

[출제의도] 함수의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$과 곡선 $\displaystyle y = \sqrt{x + 1}$이 직선 $x = t$($0 < t < 1$)과 만나는 점은 각각 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( t , \sqrt{1 - t ^{2}} \right)$, $\displaystyle \mathrm{Q} \mathit{\left( t , \sqrt{t ^{} + 1} \right)}$ $\displaystyle S ( t ) = \frac{1}{2} \times t \times {\overline{\mathrm{PQ}}}$$\displaystyle = \frac{t \left( \sqrt{t ^{} + 1} - \sqrt{1 - t ^{2}} \right)}{2}$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{S \left( t \right)}{t ^{2}}} = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{t \left( \sqrt{t ^{} + 1} - \sqrt{1 - t ^{2}} \right)}{2 t ^{2}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{t ^{2} + t}{2 t \left( \sqrt{t ^{} + 1} + \sqrt{1 - t ^{2}} \right)}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{t + 1}{2 \left( \sqrt{t ^{} + 1} + \sqrt{1 - t ^{2}} \right)} = \frac{1}{4}}$