미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

넓이함수 미분가능성

문제

좌표평면 위에 그림과 같이 어두운 부분을 내부로 하는 도형이 있다. 이 도형과 네 점 (0,0)( 0 , 0 ), (t,0)( t , 0 ), (t,t)( t , t ), (0,t)( 0 , t )를 꼭짓점으로 하는 정사각형이 겹치는 부분의 넓이를 f(t)f ( t )라 하자.

열린 구간 (0,4)( 0 , 4 )에서 함수 f(t)f ( t )가 미분가능하지 않은 모든 tt의 값의 합은? [4점] ①22②33③44④55⑤66

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③

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해설

f(t)={t2(0<t<1)1+∫1txdx=12t2+12(1≤t<2)52+∫2t2dx=2t−32(2≤t<3)92+∫3t3dx=3t−92(3≤t<4)\displaystyle f ( t ) = \begin{cases} & t ^{2} & ( 0 < t < 1 ) \\ & 1 + \int _{1} ^{t} x dx = \frac{1}{2} t ^{2} + \frac{1}{2} & ( 1 \leq t < 2 ) \\ & \frac{5}{2} + \int _{2} ^{t} 2 dx = 2 t - \frac{3}{2} & ( 2 \leq t < 3 ) \\ & \frac{9}{2} + \int _{3} ^{t} 3 dx = 3 t - \frac{9}{2} & ( 3 \leq t < 4 ) \end{cases} 이고, tt가 자연수가 아닐 때는 미분가능하므로 f′(t)={2t(0<t<1)t(1<t<2)2(2<t<3)3(3<t<4)\displaystyle f' ( t ) = \begin{cases} & 2 t & ( 0 < t < 1 ) \\ & t & ( 1 < t < 2 ) \\ & 2 & ( 2 < t < 3 ) \\ & 3 & ( 3 < t < 4 ) \end{cases} lim⁡t→2+0f′(t)=lim⁡t→2−0f′(t)=2\displaystyle \lim\limits _{t\rightarrow 2+0} f' ( t ) = \lim\limits _{t\rightarrow 2-0} f' ( t ) = 2가 되어 t=2t = 2에서 미분가능하지만 t=1t = 1 또는 33에서는 미분이 불가능하다. 따라서 1+3=41 + 3 = 4이다.

태그

#미분가능성#넓이함수

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