넓이가 일정한 삼각형과 평행선

직선 $l$의 기울기는 $\displaystyle \frac{1 - 3}{5 - 1} = - \frac{1}{2}$이므로 직선 $l$의 방정식은 $\displaystyle y - 3 = - \frac{1}{2} ( x - 1 )$, 즉 $x + 2 y - 7 = 0$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \mathit{\sqrt{( 5 - 1 ) ^{2} + ( 1 - 3 ) ^{2}}} = 2 \sqrt{5}$ 점 $\mathrm{P}$가 직선 $m$ 위의 어느 점이어도 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 넓이가 $5$이므로, 점 $\mathrm{P}$와 직선 $l$ 사이의 거리는 두 직선 $l$, $m$ 사이의 거리와 같다. 이 거리를 $d$라 하면 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{5} \times d = 5$에서 $\displaystyle d = \sqrt{5}$ 직선 $m$의 방정식을 $x + 2 y + c = 0$이라 하면 점 $\mathrm{A} ( 1 , 3 )$과 직선 $m$ 사이의 거리가 $\displaystyle \sqrt{5}$이므로 $\displaystyle \frac{| 1 + 6 + c |}{\sqrt{1 ^{2} + 2 ^{2}}} = \sqrt{5}$에서 $| c + 7 | = 5$ $c = - 2$ 또는 $c = - 12$ 직선 $m$은 $x + 2 y - 2 = 0$ 또는 $x + 2 y - 12 = 0$이므로 $y$절편은 각각 $1$, $6$이다. 따라서 모든 $k$의 값의 합은 $1 + 6 = 7$이다. ③