넓이가 같은 두 영역

[출제의도] 정적분을 활용하여 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구할 수 있는가? $A$의 넓이와 $B$의 넓이가 같으므로 두 직선 $y = - 2 x + a$와 $x = 1$ 및 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이와 곡선 $y = e ^{2 x}$와 직선 $x = 1$ 및 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이가 같다. 두 직선 $y = - 2 x + a$와 $x = 1$ 및 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이는 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {\left( - 2 x + a \right) dx}$$= \left[ - x ^{2} + ax \right] _{0} ^{1}$$= - 1 + a$ $\cdots \cdots$ ㉠ 곡선 $y = e ^{2 x}$와 직선 $x = 1$ 및 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이는 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {e ^{2 x} dx}$$\displaystyle = \left[ \frac{1}{2} e ^{2 x} \right] _{0} ^{1}$$\displaystyle = \frac{e ^{2} - 1}{2}$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle - 1 + a = \frac{e ^{2} - 1}{2}$ 따라서 $\displaystyle a = \frac{e ^{2} + 1}{2}$