넓이가 최소가 되는 a의 값

$f ( x ) = x ^{3} + ( x + a ) ^{2}$이라 하면 구간$[ 0 , 1 ]$에서 $x ^{3} > 0 , ( x + a ) ^{2} \geq 0$ 이므로 항상 $0$보다 크거나 같은 값을 갖는다. 따라서, 구하고자 하는 면적을 $S$라 하면 $\displaystyle S = \int _{0} ^{1} {\left| x ^{3} + ( x + a ) ^{2} \right| dx}$$\displaystyle = \int _{0} ^{1} {x ^{3} + ( x + a ) ^{2} dx}$ $\displaystyle = \frac{1}{4} x ^{4} + \frac{1}{3} x ^{3} + ax ^{2} + a ^{2} x ] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = a ^{2} + a + \frac{7}{12}$ 넓이가 최소일 때의 $a$값은 $\displaystyle - \frac{1}{2}$