대수삼각함수AI기본 문제 (3점 중반)

넓이가 최대일 때의 반지름과 중심각

문제

둘레의 길이가 3232인 부채꼴의 넓이가 최대가 될 때, 이 부채꼴의 반지름의 길이를 rr, 중심각의 크기를 θ\theta라 하자. r+θr + \theta의 값을 구하시오. [3점]

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해설

둘레의 길이가 3232이므로 2r+rθ=322 r + r \theta = 32에서 rθ=32−2rr \theta = 32 - 2 r (단, 0<r<160 < r < 16) 부채꼴의 넓이 SS는 S=12r2θ=12r(32−2r)=−r2+16r=−(r−8)2+64\displaystyle S = \frac{1}{2} r ^{2} \theta = \frac{1}{2} r ( 32 - 2 r ) = - r ^{2} + 16 r = - ( r - 8 ) ^{2} + 64 r=8r = 8일 때 넓이가 최대이고, 이때 8θ=32−16=168 \theta = 32 - 16 = 16에서 θ=2\theta = 2 따라서 r+θ=8+2=10r + \theta = 8 + 2 = 10

태그

#부채꼴의 넓이#최댓값#중심각

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