넓이 수열 급수

$a _{n} - a _{n+1}$은 곡선 $y = x ^{4} + x ^{2}$와 직선 $\displaystyle y = \frac{2}{n}$, $\displaystyle y = \frac{2}{n + 1}$로 둘러싸인 부분의 넓이므로 그림과 같이 $S$는 곡선 $y = x ^{4} + x ^{2}$과 직선 $y = 2$로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다.

$x ^{4} + x ^{2} = 2$에서 $( x ^{2} + 2 ) ( x ^{2} - 1 ) = 0$이므로 곡선 $y = x ^{4} + x ^{2}$과 $y = 2$는 ∴ $S$$\displaystyle = \int _{-1} ^{1} \left\{ 2 - ( x ^{4} + x ^{2} ) \right\} dx$ $\displaystyle = 2 \left[ 2 x - \frac{1}{5} x ^{5} - \frac{1}{3} x ^{3} \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = 2 \left( 2 - \frac{1}{5} - \frac{1}{3} \right)$ $\displaystyle = \frac{44}{15}$ [다른 풀이] $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{2}{n}$$= 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} = 0$ 그런데 $\displaystyle a _{n} = a _{1} + \sum\limits _{k=1} ^{n-1} ( a _{n+1} - a _{n} )$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} ( a _{n} - a _{n+1} ) = a _{1}$