공통수학2직선의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

넓이 삼등분 직선

문제

좌표평면 위에 두 점 A(2,0)\mathrm{A} ( 2 , 0 ), B(0,6)\mathrm{B} ( 0 , 6 )이 있다. 다음 조건을 만족시키는 두 직선 l,ml , m의 기울기의 합의 최댓값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점] (가) 직선 ll은 점 O\mathrm{O}를 지난다. (나) 두 직선 ll과 mm은 선분 AB\mathrm{AB} 위의 점 P\mathrm{P}에서 만난다. (다) 두 직선 ll과 mm은 삼각형 OAB\mathrm{OAB}의 넓이를 삼등분한다.

①34\displaystyle \frac{3}{4}②45\displaystyle \frac{4}{5}③56\displaystyle \frac{5}{6}④67\displaystyle \frac{6}{7}⑤78\displaystyle \frac{7}{8}

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①

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해설

조건 (가)에서 직선 ll이 삼각형 OAB\mathrm{OAB}의 점 B\mathrm{B}를 지나므로 조건 (나), (다)에서 점 P\mathrm{P}는 선분 AB\mathrm{AB}를 2:12 : 1 또는 1:21 : 2로 내분하는 점이어야 한다. ⅰ) 점 P\mathrm{P}가 선분 AB\mathrm{AB}를 2:12 : 1로 내분하는 점일 때

점 P\mathrm{P}의 좌표는 (23,4)\displaystyle \left( \frac{2}{3} , 4 \right)이므로 직선 ll의 기울기는 4−023−0=6\displaystyle \frac{4 - 0}{\frac{2}{3} - 0} = 6 조건 (다)에서 직선 mm은 삼각형 OAP\mathrm{OAP}의 넓이를 이등분하여야 하므로 선분 OA\mathrm{OA}의 중점 (1,0)( 1 , 0 )을 지난다. 직선 mm의 기울기는 4−023−1=−12\displaystyle \frac{4 - 0}{\frac{2}{3} - 1} = - 12 두 직선 l,ml , m의 기울기의 합은 −6- 6 ⅱ) 점 P\mathrm{P}가 선분 AB\mathrm{AB}를 1:21 : 2로 내분하는 점일 때

점 P\mathrm{P}의 좌표는 (43,2)\displaystyle \left( \frac{4}{3} , 2 \right)이므로 직선 ll의 기울기는 2−043−0=32\displaystyle \frac{2 - 0}{\frac{4}{3} - 0} = \frac{3}{2} 조건 (다)에서 직선 mm은 삼각형 OPB\mathrm{OPB}의 넓이를 이등분하여야 하므로 선분 OB\mathrm{OB}의 중점 (0,3)( 0 , 3 )을 지난다. 직선 mm의 기울기는 2−343−0=−34\displaystyle \frac{2 - 3}{\frac{4}{3} - 0} = - \frac{3}{4} 두 직선 l,ml , m의 기울기의 합은 34\displaystyle \frac{3}{4} ⅰ), ⅱ)에 의하여 두 직선 l,ml , m의 기울기의 합의 최댓값은 34\displaystyle \frac{3}{4}

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#직선의 방정식#넓이

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