미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

넓이 무한등비급수

문제

한 변의 길이가 $10$ 인 직각이등변삼각형에서 $\mathrm{O}$ 와 $\mathrm{A} _{1}$ 의 중점을 $\mathrm{A} _{2}$ , $\mathrm{O}$ 와 $\mathrm{A} _{2}$ 의 중점을 $\mathrm{A} _{3}$ , $\mathrm{O}$ 와 $\mathrm{A} _{3}$ 의 중점을 $\mathrm{A} _{4}$ , … 이와 같이 무한히 반복하고 어두운 부분의 넓이를 오른쪽부터 $S _{1,} S _{2,} S _{3,} \cdots$ 라 할 때, $S _{1} + S _{2} + S _{3} + \cdots$ 의 값을 구하시오. [4점]

$\cdots$ $\cdots$

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해설

$\displaystyle S _{1} = ( 10 + 5 ) \times 5 \times \frac{1}{2}$ $\displaystyle S _{2} = \left( \frac{5}{2} + \frac{5}{4} \right) \times \frac{5}{4} \times \frac{1}{2}$ $\vdots$ 첫째항이 $\displaystyle \frac{75}{2}$ , 공비가 $\displaystyle \frac{1}{16}$ 인 무한등비급수 ∴ $\displaystyle \frac{\frac{75}{2}}{1 - \frac{1}{16}} = 40$

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