넓이 조건과 상용로그

[출제의도] 상용로그의 성질을 이용하여 부등식의 해를 구한다. 직선 $l _{n}$이 점 $\displaystyle \left( 3 \left( \frac{3}{4} \right) ^{n} , 0 \right)$과 $\displaystyle \left( 0 , 4 \left( \frac{3}{4} \right) ^{n} \right)$을 지나므로 직선 $l _{n}$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 3 \left( \frac{3}{4} \right) ^{n} \times 4 \left( \frac{3}{4} \right) ^{n}$$\displaystyle = 6 \left( \frac{3}{4} \right) ^{2 n}$ 이고 이 넓이가 $\displaystyle \frac{1}{10}$ 이하가 되어야 하므로 $\displaystyle 6 \left( \frac{3}{4} \right) ^{2 n} \leq \frac{1}{10}$ 양변에 상용로그를 취하면 $\log 6 + 2 n \left( \log 3 - 2 \log 2 \right) \leq - 1$ $\displaystyle n \geq \frac{1 + \log 2 + \log 3}{2 \left( 2 \log 2 - \log 3 \right)}$ $n \geq$$\displaystyle \frac{1 + 0.30 + 0.48}{2 \left( 0.60 - 0.48 \right)}$ $\displaystyle n \geq \frac{1.78}{0.24}$$= 7.4 \times \times$ 따라서 자연수 $n$의 최솟값은 $8$이다.