공통수학2직선의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

넓이 조건 직선 방정식

문제

좌표평면에 세 점 O(0,0){\mathrm{O}} ( 0 , 0 ), A(6,2){\mathrm{A}} ( 6 , 2 ), B(−2,4){\mathrm{B}} ( - 2 , 4 )를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 있다.

직선 OA\mathrm{OA} 위의 점 P\mathrm{P}와 직선 OB\mathrm{OB} 위의 점 Q\mathrm{Q}가 다음 조건을 만족한다.

(가) 점 P\mathrm{P}는 제 11사분면, 점 Q\mathrm{Q}는 제 22사분면 위의 점이다. (나) (△OPB\triangle \mathrm{OPB}의 넓이)=12×\displaystyle = \frac{1}{2} \times(△OAB\triangle \mathrm{OAB}의 넓이) (다) (△OPQ\triangle \mathrm{OPQ}의 넓이)=32×\displaystyle = \frac{3}{2} \times(△OPB\triangle \mathrm{OPB}의 넓이)

이때, 직선 PQ\mathrm{PQ}의 방정식은 mx+ny=21mx + ny = 21이다. 두 실수 mm, nn의 합 m+nm + n의 값은? [4점] ①1111②1212③1313④1414⑤1515

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①

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해설

[출제의도] 삼각형의 넓이의 비에서 선분의 내분점과 외분점을 이해하고 직선의 방정식을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. (△OPB\triangle \mathrm{OPB}의 넓이)=12×\displaystyle = \frac{1}{2} \times(△OAB\triangle \mathrm{OAB}의 넓이)이고, 점 P\mathrm{P}가 제1사분면 위의 점이므로 점 P\mathrm{P}는 선분 OA\mathrm{OA}의 중점이다. ∴ P(3,1){\mathrm{P}} \left( 3 , 1 \right) (△OPQ\triangle \mathrm{OPQ}의 넓이)=32×\displaystyle = \frac{3}{2} \times(△OPB\triangle \mathrm{OPB}의 넓이)이고, 점 Q\mathrm{Q}가 제2사분면 위의 점이므로 점 Q\mathrm{Q}는 선분 OB\mathrm{OB}를 3:13 : 1로 외분하는 점이다. Q(3×(−2)−03−1,3×4−03−1)\displaystyle {\mathrm{Q}} \left( \frac{3 \times ( - 2 ) - 0}{3 - 1} , \frac{3 \times 4 - 0}{3 - 1} \right) ∴ Q(−3,6)\mathrm{Q} \mathit{(} - 3 , 6 ) 그러므로 직선 PQ\mathrm{PQ}의 방정식은 다음과 같다. y−1=−56(x−3)\displaystyle y - 1 = {- \frac{5}{6}} ( x - 3 ) ∴ 5x+6y=215 x + 6 y = 21 m=5m = 5, n=6n = 6이므로 m+n=11m + n = 11

태그

#삼각형의 넓이#내분점

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