미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

넓이 조건 부분적분

문제

실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 $f ( x )$ 에 대하여 $f \left( 0 \right) = 0$ , $f \left( 2 \right) = 1$ 이다. 그림과 같이 $0 \leq x \leq 2$ 에서 곡선 $y = f \left( x \right)$ 와 $x$ 축 및 직선 $x = 2$ 로 둘러싸인 두 부분의 넓이를 각각 $A$ , $B$ 라 하자. $A = B$ 일 때, $\displaystyle \int _{0} ^{2} {( 2 x + 3 ) f' ( x )} dx$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 정적분과 넓이의 관계를 이용하여 문제를 해결한다. $A = B$ 이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{2} {f ( x ) dx} = 0$ $\displaystyle \int _{0} ^{2} {( 2 x + 3 ) f' ( x )} dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} ( 2 x + 3 ) f ( x ) \end{array} \right] _{0} ^{2} - \int _{0} ^{2} {2 f ( x )} dx$ $= 7 f ( 2 ) - 3 f \left( 0 \right) - 0$ $= 7$

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