넓이 함수 보기

두 다항함수 $f \left( x \right)$, $g \left( x \right)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right) > g \left( x \right)$를 만족하므로 양수 $t$에 대하여 두 곡선 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$와 두 직선 $x = 0$, $x = t$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S \left( t \right)$는 다음과 같다. $\displaystyle S \left( t \right) = \int _{0} ^{t} \left\{ f \left( x \right) - g \left( x \right) \right\} dx$ 양변을 $t$에 대하여 미분하면 $S' \left( t \right) = f \left( t \right) - g \left( t \right)$ 이때 $S' \left( t \right) = t ^{2} - 2 t + a$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 다음이 성립한다. $f \left( x \right) - g \left( x \right) = x ^{2} - 2 x + a$ ㄱ. $f \left( 1 \right) = g \left( 1 \right) + 1$에서 $f \left( 1 \right) - g \left( 1 \right) = 1$이므로 $1 ^{2} - 2 \times 1 + a = 1$, $a - 1 = 1$ $\therefore a = 2$ (거짓) ㄴ. $a = 2$이므로 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = x ^{2} - 2 x + 2$ 이때 $S \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{t} {} \left( x ^{2} - 2 x + 2 \right) dx = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{3} x ^{3} - x ^{2} + 2 x \end{array} \right] _{0} ^{t}$$\displaystyle = \frac{1}{3} t ^{3} - t ^{2} + 2 t$ 이므로 $S \left( 3 \right) = 9 - 9 + 6 = 6$ (참) ㄷ. 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right) > g \left( x \right)$이므로, 두 곡선 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$와 두 직선 $x = - 2$, $x = 2$로 둘러싸인 도형의 넓이는 다음과 같다. $\displaystyle \int _{- 2} ^{2} {} \left\{ f \left( x \right) - g \left( x \right) \right\} dx$$\displaystyle = \int _{- 2} ^{2} {} \left( x ^{2} - 2 x + 2 \right) dx$ $\displaystyle = 2 \int _{0} ^{2} {} \left( x ^{2} + 2 \right) dx$ $\displaystyle = 2 \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{3} x ^{3} + 2 x \end{array} \right] _{0} ^{2}$ $\displaystyle = 2 \times \left( \frac{8}{3} + 4 \right) = \frac{40}{3}$ 한편, ㄴ에서 $S \left( t \right)$$\displaystyle = \frac{1}{3} t ^{3} - t ^{2} + 2 t$이므로 $\displaystyle S \left( 4 \right) = \frac{64}{3} - 16 + 8 = \frac{40}{3}$ 따라서 두 곡선 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$와 두 직선 $x = - 2$, $x = 2$로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S \left( 4 \right)$의 값과 같다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.