넓이 극한 미분계수

[출제의도] 정적분을 이용하여 삼각함수의 극한값 구하는 문제를 해결한다. 직선 $l$의 방정식은 $y = ( \tan \theta ) x$이므로 $- x ^{3} + x = ( \tan \theta ) x$에서 $x ( x ^{2} + \tan \theta - 1 ) = 0$ $x \geq 0$에서 $x = 0$ 또는 $\displaystyle x = \sqrt{1 - \tan \theta}$이다. 따라서 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle S ( \theta ) = \int _{0} ^{\sqrt{1 - \tan \theta}} \left\{ ( - x ^{3} + x ) - ( \tan \theta ) x \right\} dx$ $=$$\displaystyle \left[ - \frac{1}{4} x ^{4} + \frac{1}{2} ( 1 - \tan \theta ) x ^{2} \right] _{0} ^{\sqrt{1 - \tan \theta}}$ $=$$\displaystyle \frac{1}{4} ( 1 - \tan \theta ) ^{2}$ 이므로$\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4} - 0} \frac{S ( \theta )}{\left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) ^{2}}$$=$$\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4} - 0} {\frac{1}{4} \left( \frac{\tan \theta - 1}{\theta - \frac{\pi}{4}} \right) ^{2}}$이다. $f ( \theta ) = \tan \theta$라 하면 $f' ( \theta ) = \sec ^{2} \theta$, $\displaystyle f \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4} - 0} {\frac{\tan \theta - 1}{\theta - \frac{\pi}{4}}}$$\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4} - 0} {\frac{f ( \theta ) - f \left( \frac{\pi}{4} \right)}{\theta - \frac{\pi}{4}}}$$\displaystyle = f' \left( \frac{\pi}{4} \right)$$= 2$ 따라서$\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4} - 0} \frac{S ( \theta )}{\left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{1}{4} \left( f' \left( \frac{\pi}{4} \right) \right) ^{2}$$\displaystyle = \frac{1}{4} \times 2 ^{2} = 1$