미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

넓이 극한

문제

실수 t(t>1)t \left( t > 1 \right)에 대하여 직선 x=tx = t가 두 곡선 y=x2y = x ^{2}, y=x\displaystyle y = \sqrt{x}와 만나는 점을 각각 P{\mathrm{P}}, Q{\mathrm{Q}}라 하자. 점 A(1,1){\mathrm{A}} \left( 1 , 1 \right)에 대하여 삼각형 APQ{\mathrm{APQ}}의 넓이를 S(t)S \left( t \right)라 할 때, lim⁡t→1+S(t)(t−1)2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} \frac{S \left( t \right)}{\left( t - 1 \right) ^{2}}의 값은? [4점] ①14\displaystyle \frac{1}{4}②12\displaystyle \frac{1}{2}③34\displaystyle \frac{3}{4}④11⑤54\displaystyle \frac{5}{4}

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③

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해설

점 P{\mathrm{P}}의 좌표는 P(t,t2){\mathrm{P}} \left( t , t ^{2} \right) 점 Q{\mathrm{Q}}의 좌표는 Q(t,t)\displaystyle {\mathrm{Q}} \left( t , \sqrt{t} \right) 점 A{\mathrm{A}}에서 직선 x=tx = t에 내린 수선의 발을 H{\mathrm{H}}라 하면 H(t,1){\mathrm{H}} \left( t , 1 \right) S(t)S \left( t \right)=12×PQ‾×AH‾\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{PQ}}} \times {\overline{\mathrm{AH}}}=12×(t2−t)×(t−1)\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( t ^{2} - \sqrt{t} \right) \times \left( t - 1 \right) lim⁡t→1+S(t)(t−1)2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} \frac{S \left( t \right)}{\left( t - 1 \right) ^{2}}=lim⁡t→1+(t2−t)(t−1)2(t−1)2\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} \frac{\left( t ^{2} - \sqrt{t} \right) \left( t - 1 \right)}{2 \left( t - 1 \right) ^{2}} =12×lim⁡t→1+(t4−t)(t−1)(t2+t)\displaystyle = \frac{1}{2} \times \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} \frac{\left( t ^{4} - t \right)}{\left( t - 1 \right) \left( t ^{2} + \sqrt{t} \right)} =12×lim⁡t→1+t(t−1)(t2+t+1)(t−1)(t2+t)\displaystyle = \frac{1}{2} \times \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} \frac{t \left( t - 1 \right) \left( t ^{2} + t + 1 \right)}{\left( t - 1 \right) \left( t ^{2} + \sqrt{t} \right)} =12×lim⁡t→1+t(t2+t+1)t2+t=34\displaystyle = \frac{1}{2} \times \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} \frac{t \left( t ^{2} + t + 1 \right)}{t ^{2} + \sqrt{t}} = \frac{3}{4}

태그

#극한#넓이

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