공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

넓이 같은 도형 증명 빈칸

문제

한 변의 길이가 $p$ 인 정사각형과 세 변의 길이가 각각 $a , b , c$ 인 직각삼각형이 있다. 직각삼각형의 빗변의 길이가 $c$ 이고 $c = a + 2$ 를 만족한다. 다음은 ‘두 도형의 넓이가 같으면 $a , b , p$ 중 적어도 하나는 정수가 아니다.’라는 것을 증명하는 과정이다.

[증명] 두 도형의 넓이가 같으므로 $ab =$ (가) 이다. $a ^{2} + b ^{2} = c ^{2}$ 이므로 $b ^{2} =$ (나) 이고 $8 p ^{2} =$ (다) 이다. 여기서 $a , b , p$ 를 모두 정수라 하면, $b ^{2} =$ (나) 에서 $b$ 는 짝수이므로 $b = 2 b'$ ( $b'$ 은 자연수)라 할 때, $\displaystyle p ^{2} = \frac{2 b'}{2} \times \frac{2 b' + 2}{2} \times \frac{2 b' - 2}{2} = b' ( b' + 1 ) ( b' - 1 )$ 이 된다. 우변은 연속된 세 자연수의 곱이므로 제곱수가 될 수 없다. 따라서 모순이다. 그러므로 $a , b , p$ 중 적어도 하나는 정수가 아니다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식을 각각 $f ( p )$ , $g ( a )$ , $h ( b )$ 라 할 때, $f ( 1 ) + g ( 2 ) + h ( 3 )$ 의 값은? [4점] ① $25$ ② $27$ ③ $29$ ④ $31$ ⑤ $33$

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③

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[출제의도] 다항식 문제 증명하기 정사각형의 넓이와 직각 삼각형의 넓이가 같으므로 $ab =$ (가)= $2 p ^{2}$ 이고 직각 삼각형에서 $a ^{2} + b ^{2} = c ^{2}$ 이므로 $b ^{2} =$ (나)= $4 a + 4$ 이고 $8 p ^{2} = 4 ab$ $= b ( b ^{2} - 4 ) =$ (다)= $b ( b + 2 ) ( b - 2 )$ 이다. 여기서 $a , b , p$ 가 모두 정수라 하면, $b ^{2} =$ (나)= $4 a + 4$ 에서 $b$ 는 짝수이므로 $b = 2 b'$ ( $b'$ 은 자연수)라 할 때 $\displaystyle p ^{2} = \frac{2 b'}{2} \cdot \frac{2 b' + 2}{2} \cdot \frac{2 b' - 2}{2}$ = $b' ( b' + 1 ) ( b' - 1 )$ 가 된다. 우변은 연속된 세 자연수의 곱이므로 제곱수가 될 수 없다. 따라서 모순이다. 그러므로 $a , b , p$ 중 적어도 하나는 정수가 아니다. 그러므로 $f ( p ) = 2 p ^{2}$ , $g ( a ) = 4 a + 4$ , $h ( b ) = b \left( b + 2 \right) \left( b - 2 \right)$ 이다. $\therefore$ $f ( 1 ) + g ( 2 ) + h ( 3 ) = 29$

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