넓이 비와 내분 외분

[출제의도] 선분의 내분점과 외분점을 활용하여 문제해결하기

직선 $\mathrm{BC}$와 직선 $\mathrm{DE}$가 서로 평행하므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$와 삼각형 $\mathrm{ADE}$는 서로 닮음이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$와 삼각형 $\mathrm{ADE}$의 넓이의 비가 $4 : 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : \overline{AD} = 2 : 1$ 그러므로 점 $\mathrm{D}$는 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이거나 선분 $\mathrm{AB}$를 $1 : 3$으로 외분하는 점이다. (ⅰ) 점 $\mathrm{D}$가 선분 $\mathrm{AB}$의 중점일 때 선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{2 + 7}{2} , \frac{3 + 1}{2} \right)$이므로 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{9}{2} , 2 \right)$ (ⅱ) 점 $\mathrm{D}$가 선분 $\mathrm{AB}$를 $1 : 3$으로 외분하는 점일 때 선분 $\mathrm{AB}$를 $1 : 3$으로 외분하는 점의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{1 \times 7 - 3 \times 2}{1 - 3} , \frac{1 \times 1 - 3 \times 3}{1 - 3} \right)$이므로 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $\displaystyle \left( - \frac{1}{2} , 4 \right)$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 점 $\mathrm{D}$의 $y$좌표의 곱은 $2 \times 4 = 8$