넓이 비의 극한

[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 $\mathrm{R} ( \mathit{t} , 0 )$이고, 점 $\mathrm{P} \mathit{\left( t , t ^{2} \right)}$에서의 접선 $l$의 방정식은 $y = 2 t \left( x - t \right) + t ^{2} = 2 tx - t ^{2}$ $x$절편은 $\displaystyle \frac{t}{2}$이므로 $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{\mathit{t}}{2} , 0 \right)$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}} = \frac{t}{2}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}} = t ^{2}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이 $\displaystyle f \left( t \right) = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{QR}}} \times {\overline{\mathrm{PR}}} = \frac{1}{2} \times \frac{t}{2} \times t ^{2} = \frac{1}{4} t ^{3}$ $x > 0$일 때, 두 곡선 $y = x ^{2}$, $\displaystyle y = \sqrt{x}$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다. 두 점 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{A}$는 각각 두 곡선 위의 점이고, 기울기가 $- 1$인 직선 위에 있으므로 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다. 따라서 $\mathrm{A} \left( \mathit{t} ^{2} , t \right)$ 한 변의 길이가 $t - t ^{2}$인 정사각형 $\mathrm{PCAB}$의 넓이 $g \left( t \right) = \left( t - t ^{2} \right) ^{2} = t ^{4} - 2 t ^{3} + t ^{2}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{t \times g \left( t \right)}{f \left( t \right)}} = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{t \left( t ^{4} - 2 t ^{3} + t ^{2} \right)}{\frac{1}{4} t ^{3}}} = 4$