미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

넓이 비의 극한

문제

[13 ~ 14] 함수 f(x)=x+2\displaystyle {f ( x ) = \sqrt{x + 2}}와 직선 x=t(t>0){{x = t ( t > 0 )}}에 대하여 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. (단, O{\mathrm{O}}는 원점이다.)

y=f(x)y = f ( x )

직선 x=tx = t와 함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프의 교점을 P\mathrm{P}, 직선 x=tx = t와 xx축과의 교점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 삼각형 POQ\mathrm{POQ}의 넓이를 S(t)S ( t ), 선분 OQ\mathrm{OQ}를 지름으로 하는 원의 넓이를 C(t)C ( t )라 할 때, lim⁡t→0+C(t)t×S(t)\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{C ( t )}{t \times S ( t )}}의 값은? [4점] ①22π\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \pi②23π\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3} \pi③24π\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4} \pi④25π\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{5} \pi⑤26π\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6} \pi

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③

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해설

[출제의도] 무리함수의 그래프를 이용하여 함수의 극한 문제 해결하기

y=f(x)y = f ( x )

S(t)=12×OQ‾×PQ‾\displaystyle S ( t ) = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OQ}}} \times {\overline{\mathrm{PQ}}}=12×t×t+2\displaystyle = \frac{1}{2} \times t \times \sqrt{t + 2} C(t)=π×(OQ‾2)2=t24π\displaystyle C ( t ) = \pi \times \left( \frac{{\overline{\mathrm{OQ}}}}{2} \right) ^{2} = \frac{t ^{2}}{4} \pi 그러므로 C(t)t×S(t)=t24π×2t2t+2\displaystyle \frac{C ( t )}{t \times S ( t )} = \frac{t ^{2}}{4} \pi \times \frac{2}{t ^{2} \sqrt{t + 2}}이다. 따라서 lim⁡t→0+C(t)t×S(t)=π4×22=24π\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{C ( t )}{t \times S ( t )} = \frac{\pi}{4} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \pi이다.

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#함수의 극한#무리함수#넓이

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