네제곱근 개수 그래프

[출제의도] 거듭제곱근의 성질을 이용하여 그래프를 이해한다. $t ^{4} = x ^{2} - 4$에서 ⅰ) $x ^{2} - 4 > 0$일 때, $( x - 2 ) ( x + 2 ) > 0$ 즉, $x < - 2$ 또는 $x > 2$일 때, $\displaystyle t = \sqrt[4]{x ^{2} - 4}$ 또는 $\displaystyle t = - \sqrt[4]{x ^{2} - 4}$이므로 실수 $t$의 값은 $2$개이다. $\therefore$$f ( x ) = 2$ ⅱ) $x ^{2} - 4 = 0$일 때, $( x - 2 ) ( x + 2 ) = 0$ 즉, $x = - 2$ 또는 $x = 2$일 때, $t = 0$이므로 실수 $t$의 값은 $1$개이다. $\therefore$$f ( x ) = 1$ ⅲ) $x ^{2} - 4 < 0$일 때, $t ^{4} = x ^{2} - 4 < 0$을 만족시키는 실수 $t$의 값은 존재하지 않는다. $\therefore$$f ( x ) = 0$ ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

[다른풀이] $t ^{4} = x ^{2} - 4$를 만족시키는 실수 $t$는 $x ^{2} - 4$의 네제곱근 중 실수인 것이다. ⅰ) $x ^{2} - 4 > 0$일 때, $x ^{2} - 4$의 네제곱근 중 실수인 것은 $\displaystyle \sqrt[4]{x ^{2} - 4}$, $\displaystyle - \sqrt[4]{x ^{2} - 4}$이므로 $f ( x ) = 2$ ⅱ) $x ^{2} - 4 = 0$일 때, $x ^{2} - 4$의 네제곱근 중 실수인 것은 $\displaystyle \sqrt[4]{x ^{2} - 4} = \sqrt[4]{0} = 0$이므로 $f ( x ) = 1$ ⅲ) $x ^{2} - 4 < 0$일 때, $x ^{2} - 4$의 네제곱근 중 실수는 존재하지 않으므로 $f ( x ) = 0$