기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

네 원에 접하는 타원

문제

그림과 같이 좌표평면에 중심의 좌표가 각각 (10,0)( 10 , 0 ), (−10,0)( - 10 , 0 ), (0,6),(0,−6)( 0 , 6 ) , ( 0 , - 6 )이고 반지름의 길이가 모두 같은 44개의 원에 동시에 접하고, 초점이 xx축 위에 있는 타원이 있다.

이 타원의 두 초점 사이의 거리가 410\displaystyle 4 \sqrt{10}일 때, 장축의 길이를 구하시오. (단, 네 원의 중심은 타원의 외부에 있다.) [4점]

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14

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해설

원의 반지름의 길이를 rr라 하면 타원의 장축과 단축의 길이는 각각 2(10−r)2 ( 10 - r ), 2(6−r)2 ( 6 - r )이므로 타원의 방정식은 x2(10−r)2+y2(6−r)2=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{( 10 - r ) ^{2}} + \frac{y ^{2}}{( 6 - r ) ^{2}} = 1 이다. 타원의 두 초점사이의 거리가 410\displaystyle 4 \sqrt{10}이므로 (10−r)2−(6−r)2=(210)2\displaystyle ( 10 - r ) ^{2} - ( 6 - r ) ^{2} = ( 2 \sqrt{10} ) ^{2} ∴r=3\therefore r = 3 따라서 타원의 장축의 길이는 2(10−3)=142 ( 10 - 3 ) = 14이다.

태그

#타원#접하는 원

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