네 점에서의 극한값으로 정하는 g(6)

조건 (나)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} \frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} = 0$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} \frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} = 0$ 이므로 $f \left( 2 \right) = 0$, $f \left( 3 \right) = 0$ 이때 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f \left( x \right)$를 $f \left( x \right) = \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) \left( x - a \right)$ ($a$는 상수) 라 하고, 조건 (가)에서 $g \left( 2 \right) = 0$이므로, 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $g \left( x \right)$를 $g \left( x \right) = \left( x - 2 \right) \left( x ^{2} + px + q \right)$($p$, $q$는 상수) 라 하자. 조건 (나)에서 $n = 2$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} \frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} \frac{\left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) \left( x - a \right)}{\left( x - 2 \right) \left( x ^{2} + px + q \right)} = \frac{\left( 2 - 3 \right) \left( 2 - a \right)}{4 + 2 p + q}$ $\displaystyle = \frac{a - 2}{4 + 2 p + q} = 0$ 이므로 $a = 2$ (단, $4 + 2 p + q \neq 0$) $\therefore f \left( x \right) = \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x - 3 \right)$ 또, $n = 4$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 4} \frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} = 2$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 4} \frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} = \frac{\left( 4 - 2 \right) ^{2} \left( 4 - 3 \right)}{g \left( 4 \right)} = \frac{4}{g \left( 4 \right)} = 2$ $\therefore$ $g \left( 4 \right) = 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 또, $n = 5$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 5} \frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} = 6$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 5} \frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} = \frac{\left( 5 - 2 \right) ^{2} \left( 5 - 3 \right)}{g \left( 5 \right)} = \frac{18}{g \left( 5 \right)} = 6$ $\therefore$ $g \left( 5 \right) = 3$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 조건 (가)와 ㉠, ㉡에 의하여 $g \left( 2 \right) = 0$, $g \left( 4 \right) = 2$, $g \left( 5 \right) = 3$ 이므로 $h \left( x \right) = g \left( x \right) - \left( x - 2 \right)$라 하면, $h \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이고 $h \left( 2 \right) = g \left( 2 \right) - \left( 2 - 2 \right) = 0$, $h \left( 4 \right) = g \left( 4 \right) - \left( 4 - 2 \right) = 0$ $h \left( 5 \right) = g \left( 5 \right) - \left( 5 - 2 \right) = 0$ 따라서 $h \left( x \right) = \left( x - 2 \right) \left( x - 4 \right) \left( x - 5 \right)$이므로 $g \left( x \right) = h \left( x \right) + \left( x - 2 \right) = \left( x - 2 \right) \left( x - 4 \right) \left( x - 5 \right) + \left( x - 2 \right)$ $\therefore$ $g \left( 6 \right) = 4 \times 2 \times 1 + 4 = 12$