공통수학1여러 가지 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

네 개의 함수값이 같을 때 α의 값

문제

f(x)=x4−x3+px2+qx+rf ( x ) = x ^{4} - x ^{3} + p x ^{2} + qx + r에 대하여 f(α)=f(2α)=f(3α)=f(4α)f ( \alpha ) = f ( 2 \alpha ) = f ( 3 \alpha ) = f ( 4 \alpha ) 이 성립한다. 이 때, α\alpha의 값은?

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110\displaystyle \frac{1}{10}

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해설

f(α)=f(2α)=f(3α)=f(4α)=kf ( \alpha ) = f ( 2 \alpha ) = f ( 3 \alpha ) = f ( 4 \alpha ) = k라 하면 f(x)f ( x )를 yy축으로 −k- k만큼 평행이동한 함수를 g(x)g ( x )라 하면 g(x)=f(x)−k=0g ( x ) = f ( x ) - k = 0의 네 근은 α,2α,3α,4α\alpha , 2 \alpha , 3 \alpha , 4 \alpha이다. f(x)−k=x4−x3+px2+qx+r−kf ( x ) - k = x ^{4} - x ^{3} + px ^{2} + qx + r - k 근과 계수와의 관계에 의해 α+2α+3α+4α=1\alpha + 2 \alpha + 3 \alpha + 4 \alpha = 1, 10α=110 \alpha = 1 따라서 α=110\displaystyle \alpha = \frac{1}{10}

태그

#근과 계수의 관계#사차방정식

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