공통수학1순열과 조합수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

n등분점을 이은 선분이 만드는 삼각형의 개수

문제

삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}의 nn등분점과 꼭짓점 C\mathrm{C}를 잇고, AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}의 nn등분점과 꼭짓점 B\mathrm{B}를 잇는다. 이때, 만들어지는 삼각형 (△ABC\mathrm{\triangle} ABC도 포함)의 개수를 ana _{n}이라 하자. 예를 들어 n=2n = 2인 다음 그림에서 a2=8a _{2} = 8이다. a5a _{5}의 값을 구하여라. [5점]

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125125

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해설

삼각형이 세 직선으로 이루어져 있다는 것을 생각해서 경우를 나누어 보자. 다음과 같이 세 직선을 교차 시킨 뒤 그 내부에 위치한 삼각형은 오직 한 개이므로 그 경우의 수를 세자.

1)1 ) BCBC를 한 직선, 꼭짓점 BB에서 대변에 이은 한 직선, 꼭짓점 CC에서 대변에 이은 한 직선으로 이루어진 삼각형의 경우 꼭짓점 BB에서 대변에 이은 한 직선이 nn개 꼭짓점 CC에서 대변에 이은 한 직선이 nn개이므로 n2n ^{2}개의 삼각형이 존재한다. 2)2 ) 꼭짓점 BB에서 대변에 이은 두 직선, 꼭짓점 CC에서 대변에 이은 한 직선으로 이루어진 삼각형의 경우(이 경우 BCBC는 제외해야 겹치지 않는다) 꼭짓점 BB에서 대변에 이은 두 직선이 nC2=n(n−1)2\displaystyle {} _{n} C _{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}개 꼭짓점 CC에서 대변에 이은 한 직선이 nn개이므로 n3−n22\displaystyle \frac{n ^{3} - n ^{2}}{2}개의 삼각형이 존재한다. 3)3 ) 꼭짓점 BB에서 대변에 이은 한 직선, 꼭짓점 CC에서 대변에 이은 두 직선으로 이루어진 삼각형의 경우(이 경우 BCBC는 제외해야 겹치지 않는다) 꼭짓점BB에서 대변에 이은 한 직선이 nn개 꼭짓점CC에서 대변에 이은 두 직선이 nC2=n(n−1)2\displaystyle {} _{n} C _{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}개이므로 n3−n22\displaystyle \frac{n ^{3} - n ^{2}}{2}개의 삼각형이 존재한다. 따라서 총 삼각형의 개수는 n3n ^{3}이다. 그러므로 125125개

태그

#경우의 수#직선과 삼각형

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