공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

n번째로 큰 소수 Pn의 성질

문제

nn번째로 큰 소수를 PnP _{n}이라 할 때, [보기] 중 옳은 것은?

< 보 기 >
Ⅰ. n≥2n \geq 2일 때, PnP _{n}은 홀수 Ⅱ. n≥2n \geq 2일 때, Pn+2≤Pn+1P _{n} + 2 \leq P _{n+1} Ⅲ. n≥1n \geq 1일 때, n<Pnn < P _{n}
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Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ

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해설

Ⅰ. n≥2n \geq 2일 때 짝수는 모두 11이외에 22를 약수로 가지므로 소수가 될 수 없다. 따라서 PnP _{n}은 홀수 (참) Ⅱ. 조건 Pn+2>Pn+1P _{n} + 2 > P _{n+1}를 만족하는 소수가 존재한다고 가정하면 Pn+1−Pn<2P _{n+1} - P _{n} < 2이어야 하므로 Pn+1−Pn=1P _{n+1} - P _{n} = 1인 경우만 가능하다.(∵Pn,Pn+1\because P _{n} , P _{n+1}은 자연수) 따라서, n>1n > 1인 경우에 위의 조건 Ⅰ로부터 Pn+2≤Pn+1P _{n} + 2 \leq P _{n+1}를 만족한다. (참) Ⅲ. P1=2P _{1} = 2이므로 위의 두 조건으로부터 n≥1n \geq 1일 때, n≤Pnn \leq P _{n} (참)

태그

#소수#명제의 참거짓

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