나눗셈의 몫 조건

$f \left( x \right)$를 $x - 1$로 나누었을 때의 몫을 $Q _{1} \left( x \right)$, 나머지를 $R _{1}$이라 하면 $f \left( x \right) = \left( x - 1 \right) Q _{1} \left( x \right) + R _{1} \cdots \text{㉠}$ $f \left( x \right)$를 $x - 2$로 나누었을 때의 몫을 $Q _{2} \left( x \right)$, 나머지를 $R _{2}$라 하면 $f \left( x \right) = \left( x - 2 \right) Q _{2} \left( x \right) + R _{2} \cdots \text{㉡}$ $\text{㉡}$에 $x = 2$를 대입하면 (가)에서 $R _{2} = f \left( 2 \right) = Q _{2} \left( 1 \right)$ $f \left( x \right) = \left( x - 2 \right) Q _{2} \left( x \right) + Q _{2} \left( 1 \right)$에 $x = 1$을 대입하면 $f \left( 1 \right) = \mathit{-} Q _{2} \left( 1 \right) + Q _{2} \left( 1 \right) = 0$ $\text{㉠}$에 $x = 1$을 대입하면 $f \left( 1 \right) = R _{1} = 0$ $f \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $1$인 이차식이므로 $Q _{1} \left( x \right) = x + a$라 하면 $f ( x )$$= \left( x - 1 \right) \left( x + a \right)$ $Q _{1} \left( 1 \right) = 1 + a$, $f \left( 2 \right) = 2 + a = Q _{2} \left( 1 \right)$이므로 (나)에서 $Q _{1} \left( 1 \right) + Q _{2} \left( 1 \right)$$= \left( 1 + a \right) + \left( 2 + a \right)$ $= 2 a + 3 = 6$ $\therefore$ $\displaystyle a = \frac{3}{2}$, $\displaystyle f \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x + \frac{3}{2} \right)$ 따라서 $\displaystyle f \left( 3 \right) = \left( 3 - 1 \right) \left( 3 + \frac{3}{2} \right) = 9$