나누어떨어지는 다항식

[출제의도] 다항식의 나눗셈과 항등식을 이해하여 다항식의 계수를 구한다. 다항식 $\left( x + 2 \right) \left( x - 1 \right) \left( x + a \right) + b \left( x - 1 \right)$을 $x ^{2} + 4 x + 5$로 나누었을 때의 몫을 $Q ( x )$라 하면 $\left( x + 2 \right) \left( x - 1 \right) \left( x + a \right) + b \left( x - 1 \right)$$= \left( x ^{2} + 4 x + 5 \right) Q ( x )$ $\left( x - 1 \right) \left\{ \left( x + 2 \right) \left( x + a \right) + b \right\}$$= \left( x ^{2} + 4 x + 5 \right) Q ( x )$ $x ^{2} + 4 x + 5$는 $x - 1$을 인수로 갖지 않고, 좌변은 최고차항의 계수가 $1$인 삼차식이므로 $Q ( x )$$= x - 1$, $x ^{2} + 4 x + 5$$= \left( x + 2 \right) \left( x + a \right) + b$$= x ^{2} + \left( 2 + a \right) x + 2 a + b$ 양변의 계수를 비교하면 $4$$= 2 + a$, $5 = 2 a + b$ $a$$= 2$, $b$$= 1$ 따라서 $a + b$$= 3$