공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

나누어떨어지는 다항식

문제

$x$ 에 대한 다항식 $x ^{4} + ax + b$ 가 $\left( x - 2 \right) ^{2}$ 으로 나누어떨어질 때, 몫을 $Q \left( x \right)$ 라 하자. 두 상수 $a$ , $b$ 에 대하여 $a + b + Q \left( 2 \right)$ 의 값을 구하시오. [4점]

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[출제의도] 인수정리를 이용하여 다항식의 나눗셈 문제 해결하기 $x ^{4} + ax + b = \left( x - 2 \right) ^{2} Q \left( x \right)$ 조립제법을 이용하면

$2$	$1$	$0$	$0$	$a$	$b$
		$2$	$4$	$8$	$2 a + 16$
	$1$	$2$	$4$	$a + 8$	$b + 2 a + 16$

$x ^{4} + ax + b$ 는 $x - 2$ 로 나누어떨어지므로 $b + 2 a + 16 = 0$ 이고 $( x - 2 ) Q ( x ) = x ^{3} + 2 x ^{2} + 4 x + a + 8$ 이다. $x ^{3} + 2 x ^{2} + 4 x + a + 8$ 을 $x - 2$ 로 나누면

$2$	$1$	$2$	$4$	$a + 8$
		$2$	$8$	$24$
	$1$	$4$	$12$	$a + 32$

$x ^{3} + 2 x ^{2} + 4 x + a + 8$ 은 $x - 2$ 로 나누어떨어지므로 $a + 32 = 0$ 이고 $x ^{4} + ax + b = \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x ^{2} + 4 x + 12 \right)$ 이다. 그러므로 $Q \left( x \right) = x ^{2} + 4 x + 12$ 이다. 따라서 $a = - 32$ , $b = 48$ , $Q \left( 2 \right) = 4 + 8 + 12 = 24$ 이고 $a + b + Q \left( 2 \right) = 40$ 이다.

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