공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

나누어떨어짐 계수

문제

상수 aa, bb에 대하여 다항식 ax3+bx2+1ax ^{3} + bx ^{2} + 1이 x2−x−1x ^{2} - x - 1로 나누어떨어질 때, a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 항등식의 성질을 이용하여 미정계수 구하기 다항식 ax3+bx2+1ax ^{3} + bx ^{2} + 1이 x2−x−1x ^{2} - x - 1로 나누어떨어지므로 ax3+bx2+1=(x2−x−1)(ax−1)ax ^{3} + bx ^{2} + 1 = ( x ^{2} - x - 1 ) ( ax - 1 ) ⇒ ax3+bx2+1=ax3−(a+1)x2−(a−1)x+1ax ^{3} + bx ^{2} + 1 = ax ^{3} - ( a + 1 ) x ^{2} - ( a - 1 ) x + 1 위 식은 항등식이므로 b=−a−1b = - a - 1, −a+1=0- a + 1 = 0 ∴ a=1a = 1, b=−2b = - 2 따라서, a2+b2=5a ^{2} + b ^{2} = 5

태그

#항등식#다항식의 나눗셈

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