나누어떨어짐 귀납법

모든 자연수 $n$에 대하여 ‘$2 ^{3 ^{n}} + 1$은 $3 ^{n + 1}$으로 나누어떨어진다.’ … ㉠ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

[증명] (ⅰ) $n = 1$일 때, $2 ^{3} + 1$은 $3 ^{2}$으로 나누어떨어지므로 ㉠이 성립한다.

(ⅱ) $n = k$일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 $n = k + 1$일 때, $2 ^{3 ^{k + 1}} + 1 = \left( 2 ^{3 ^{k}} \right) ^{3} + 1 = \left( {\square {( \text{가} )}} \right) \left\{ \left( 2 ^{3 ^{k}} \right) ^{2} - 2 ^{3 ^{k}} + 1 \right\}$ 에서 $2 ^{3 ^{k}}$은 $3$으로 나누면 나머지가 ${\square {( \text{나} )}}$ 이고 $\left( 2 ^{3 ^{k}} \right) ^{2} - 2 ^{3 ^{k}} + 1$을 $3$으로 나누면 나머지는 ${\square {( \text{다} )}}$ 이므로 $2 ^{3 ^{k + 1}} + 1$은 $3 ^{k + 2}$으로 나누어떨어진다. 따라서, $n = k + 1$일 때에도 ㉠이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 ㉠이 성립한다.

위의 증명에서 (가) ～ (다)를 바르게 짝지은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①$2 ^{3 ^{k}} - 1$ $0$ $1$②$2 ^{3 ^{k}} - 1$ $0$ $2$③$2 ^{3 ^{k}} + 1$ $1$ $0$④$2 ^{3 ^{k}} + 1$ $2$ $1$⑤$2 ^{3 ^{k}} + 1$ $2$ $0$