공통수학1다항식의 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

나무토막으로 정육면체 만들기

문제

다음과 같이 부피가 서로 다른 네 종류의 나무토막 ${\mathrm{A}}$ , ${\mathrm{B}}$ , ${\mathrm{C}}$ , ${\mathrm{D}}$ 가 있다.

${\mathrm{A}}$ : 한 모서리의 길이가 $x$ 인 정육면체 ${\mathrm{B}}$ : 세 모서리의 길이가 각각 $x$ , $x$ , $1$ 인 직육면체 ${\mathrm{C}}$ : 세 모서리의 길이가 각각 $x$ , $1$ , $1$ 인 직육면체 ${\mathrm{D}}$ : 한 모서리의 길이가 $1$ 인 정육면체

이 나무토막 ${\mathrm{A}}$ , ${\mathrm{B}}$ , ${\mathrm{C}}$ , ${\mathrm{D}}$ 를 각각 한 개 이상을 사용하여 부피가 $64$ 인 정육면체를 만들었다. 사용된 전체 나무토막의 개수가 $n$ 일 때, $n$ 의 최솟값을 구하시오. (단, $x$ 는 $2$ 이상의 양의 정수이다.) [3점]

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해설

[출제의도] 항등식을 이해하기 사용된 나무토막 ${\mathrm{A}} \mathit{,} {\mathrm{B}} \mathit{,} {\mathrm{C}} \mathit{,} {\mathrm{D}}$ 의 개수를 각각 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 라 할 때, 만들고자 하는 정육면체의 부피는 $a x ^{3} + b x ^{2} + c x + d$ 이다. 이때, 부피가 $6 4$ 인 정육면체를 만들고자 할 때, 사용된 전체 나무토막의 개수가 최소이려면 (i) 나무토막 $A$ 의 한 모서리의 길이가 $x = 3$ 이므로 $a = 1$ (ii) 모든 모서리의 길이가 $x + k$ ( $k$ 는 양의 정수) 이어야 한다. 즉, $( x + k ) ^{3} = 6 4$ 에서 $x + k = 4$ 이므로 $x = 3$ , $k = 1$ 일 때 사용된 전체 나무토막의 개수는 최소이다. 그러므로 $x ^{3} + b x ^{2} + c x + d = ( x + 1 ) ^{3}$ $= x ^{3} + 3 x ^{2} + 3 x + 1$ 에서 $a = 1 , b = 3 , c = 3 , d = 1$ 이다. 따라서 $n = 8$

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