공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

나무토막 겉넓이 최솟값

문제

[그림1]과 같이 세 모서리의 길이가 각각 $x$ , $y$ , $3$ 인 직육면체 모양의 나무토막이 있다.

[그림1] [그림1]의 나무토막의 한 모퉁이에서 모서리의 길이가 $1$ 인 정육면체 모양의 나무토막을 잘라내었더니 [그림2]와 같이 나무토막 $A$ 와 나무토막 $B$ 로 나누어졌다.

[그림2] $A$ 의 부피가 $47$ 일 때, $A$ 의 겉넓이의 최솟값을 구하시오. (단, $x > 1$ , $y > 1$ ) [4점]

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해설

[출제의도] 절대부등식을 활용하여 문제해결하기 ( $A$ 의 부피) $= 3 xy - 1 = 47$ $\therefore$ $xy = 16$ ( $A$ 의 겉넓이) $= 2 ( xy + 3 x + 3 y )$ $= 32 + 6 ( x + y )$ 산술평균, 기하평균의 관계에 의하여 $\displaystyle 32 + 6 ( x + y ) \geq 32 + 12 \sqrt{xy} = 80$ (단, 등호는 $x = y = 4$ 일 때 성립한다.) 따라서 $A$ 의 겉넓이의 최솟값은 $80$

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