미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

나무 높이 탄젠트

문제

눈높이가 1m1 \mathrm{m}인 어린이가 나무로부터 7m7 \mathrm{m} 떨어진 지점에서 나무의 꼭대기를 바라본 선과 나무가 지면에 닿는 지점을 바라본 선이 이루는 각이 θ\theta이었다. 나무로부터2m2 \mathrm{m} 떨어진 지점까지 다가가서 나무를 바라보았더니 나무의 꼭대기를 바라본 선과 나무가 지면에 닿는 지점을 바라본 선이 이루는 각이 θ+π4\displaystyle \theta + \frac{\pi}{4}가 되었다. 나무의 높이는 a(m)a ( \mathrm{m} ) 또는 b(m)b ( \mathrm{m} )이다. a+ba + b의 값은? [4점]

①1212②1414③1616④1818⑤2020

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①

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해설

주어진 그림을 단순화하면 그림과 같다.

그림에서 A‾H=x\displaystyle {\overline{\mathrm{A}} H} = x라 둔다. ∠BQH−∠BPH=α\angle \mathrm{B} QH - \angle \mathrm{B} PH = \alpha ∠BQA−∠BPA=β\angle \mathrm{B} QA - \angle \mathrm{B} PA = \beta라고 하면 tan⁡α=12−171+12⋅17=13\displaystyle \tan \alpha = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{7}}{1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}} = \frac{1}{3} tan⁡β=x−12−x−171+x−12⋅x−17=5(x−1)14+(x−1)2\displaystyle \tan \beta = \frac{\frac{x - 1}{2} - \frac{x - 1}{7}}{1 + \frac{x - 1}{2} \cdot \frac{x - 1}{7}} = \frac{5 ( x - 1 )}{14 + ( x - 1 ) ^{2}} 또한, α+β=π4\displaystyle \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} 이므로 tan⁡(α+β)=13+5(x−1)14+(x−1)21−13⋅5(x−1)14+(x−1)2=1\displaystyle \tan ( \alpha + \beta ) = \frac{\frac{1}{3} + \frac{5 ( x - 1 )}{14 + ( x - 1 ) ^{2}}}{1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{5 ( x - 1 )}{14 + ( x - 1 ) ^{2}}} = 1 이 식을 정리하면 x2−12x+25=0x ^{2} - 12 x + 25 = 0 따라서, 근과 계수의 관계에서 a+b=12a + b = 12

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