나머지와 로그

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 나머지정리에 의하여 $\left( \log _{2} a \right) ^{2} + 2 \log _{2} a + 3 =$$\left( \log _{2} 2 a \right) ^{2} + 2 \log _{2} 2 a + 3$ $\log _{2} a = t$라고 하면 $t ^{2} + 2 t + 3 = ( t + 1 ) ^{2} + 2 ( t + 1 ) + 3$이므로 $\displaystyle t = \log _{2} a = - \frac{3}{2}$ 그러므로 $\displaystyle a = 2 ^{- \frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ (다른풀이) $f ( x ) = x ^{2} + 2 x + 3$이라 하자. 나머지 정리에 의하여 $\left. f \left( \log _{2} a \right) = f \right( \log _{2} 2 a )$이고, $y = f ( x )$의 그래프의 대칭축이 직선 $x = - 1$이므로 $\displaystyle \frac{\log _{2} a + \log _{2} 2 a}{2} = - 1$ 따라서 $\displaystyle \log _{2} a = - \frac{3}{2}$ 그러므로 $\displaystyle a = 2 ^{- \frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$