공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

나머지와 몫

문제

$x$ 에 대한 다항식 $x ^{3} - x ^{2} - ax + 5$ 를 $x - 2$ 로 나누었을 때의 몫은 $Q \left( x \right)$ , 나머지는 $5$ 이다. $Q \left( a \right)$ 의 값은? (단, $a$ 는 상수이다.) [3점] ① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$

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②

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[출제의도] 나머지정리를 이용하여 다항식의 나눗셈 문제 해결하기 다항식 $x ^{3} - x ^{2} - ax + 5$ 를 $x - 2$ 로 나누었을 때의 몫은 $Q \left( x \right)$ , 나머지는 $5$ 이므로 $x ^{3} - x ^{2} - ax + 5 = \left( x - 2 \right) Q \left( x \right) + 5$ 이다. 나머지정리에 의해 양변에 $x = 2$ 를 대입하면 $8 - 4 - 2 a + 5 = 5$ 이므로 $a = 2$ 이다. 조립제법을 이용하면

$2$	$1$	$- 1$	$- 2$	$5$
		$2$	$2$	$0$
	$1$	$1$	$0$	$5$

$x ^{3} - x ^{2} - 2 x + 5 = \left( x - 2 \right) \left( x ^{2} + x \right) + 5$ 이다. 따라서 $Q \left( x \right) = x ^{2} + x$ 이므로 $Q \left( a \right) = Q \left( 2 \right) = 4 + 2 = 6$ 이다.

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